如何用同余解不定方程(如何用同余解不定方程)

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系解题技巧《巧用同余特性求解不定方程》。

不定方程，指的是未知数的个数大于独立方程的个数，比如2x+y=10，这是我们比较熟悉的两个未知数，一个方程的情况。那什么是独立方程：不能通过未知数系数变化变成同一个方程的，就是独立方程，如果能通过未知数系数变化变成同一个方程的，那其实就是同一个方程。中公教育在此为大家重点介绍一下如果巧用同余特性求解不定方程。

什么是不定方程?

所谓的不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制(行测中一般在正整数范畴之内)的方程或方程组。

同余特性两条重要的性质：余数的和决定和的余数;余数的积决定积的余数。

例1：已知x.y均为正整数，求4x+9y=63中x为多少?

分析：要想求出x我们就要把这里边的另一个未知数9y消掉，那么，除以9才能把其消掉。我们先来看除以9这种情况:9y ÷9余数是0，63÷9余数也是0，利用同余特性余数的和决定和的余数，4x ÷9余数应为0，再利用余数的积决定积的余数，就得到了x ÷9余0。在正整数范围内，x最小为9，再大一点的话为18，当x=9时，y=3。当x=18时，y=-1。排除掉不满足题意的可知x正确取值为9。

总结：在解决这道题的过程当中，运用到的一个核心思想，就是消元，消元不是消未知数，而是一种通过除系数看余数，利用同余特性，找到余数等量关系的一种方法。

例2：1.7a+8b=111，已知a，b为正整数，且a>b，则a-b=( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：先来求a ,要想求出a的值，就要消掉8b这一项。8b除以8余0 ,而111÷8除以8余7，利用同余特性余数的和决定和的余数， 7a÷8余数为7，再利用余数的积决定积的余数，得到a÷8余1。求b的值就要消掉7a，7a ÷7余数为零，111÷7余数为6，根据同余特性余数的和决定和的余数，8b ÷7余数为6，再利用余数的积决定积的余数，我们得到b÷7余数为6。先来看a，正整数范围内第一个÷8余数为1的数，而题干要求a大于b，而1是最小的正整数，因此a不能等于1 ,下一个÷8余1的数为9，再来看b，正整数范围内第一个除以7余6的数是6，此时，恰好满足a-b都为正整数，且a大于b ,因此a-b等于3 ,结合选项，选择B。

思考：如果要消两个元呢?

那就要除以系数的公约数，而为了更快速的排除，就要找到公约数的最大值，就是最大公约数。

例3：例题五：15 x +7y+9z=60， x、y、z都是正整数，求y=( )?

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：要想求出y的值，就要消掉15x和9z，消两个元就要除以系数的最大公约数， 15和9的最大公约数是3，15x÷3余数为0， 9Z÷3余数为0，60÷3余数为0，根据余数的和决定和的余数， 7y÷3余数为0，再利用余数的积决定积的余数，得到y÷3余数也为0。

找到余数等量关系之后，结合选项只能选C。

思考：如果要解不定方程呢?

同消两个元的做法，针对每个方程除以系数的最大公约数，确定未知数的取值范围。

例4:3x+7y+z=32 , 4x+10y+z=43，则x+y+z=( )。

A.2 B.4 C.7 D.8

分析：要想求出x+y+z的值，将x+y+z的值看作为一个整体，就要把x、y、z的系数变为一，对于第一个方程，就要消掉2x和6y，除以系数的最大公约数为2，2x和6y÷2的余数为0，而32÷2的余数也为0，利用余数的和决定和的余数，得到(x+y+z)÷2余数也为0;再看第二个方程，要把x、y、z的系数变为1，就要消掉3x和9y，除以最大公约数3，余数均为0，43÷3余数为1，利用余数的和决定和的余数，我们得到(x+y+z)÷3余数也为1，结合选项选B。

总结：在利用同余特性解不定方程中，运用到的一个核心思想，就是消元，消元不是消未知数，而是一种通过除系数看余数，利用同余特性，找到余数等量关系的一种方法。如果消两个元那就要除以系数的公约数，而为了更快速的排除，就要找到公约数的最大值，就是最大公约数。谢谢大家!

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