错位重排问题公式(错位重排典型例题)

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错位重排问题是公务员考试行测试卷中比较难理解的复杂数学模型，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称为伯努利-欧拉装错信封问题，是指把n个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来位置上的排列问题。其原题的简单表述如下：

编号是1、2、3的3封信，装入编号为1、2、3的3个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?

由于信封数目比较少，我们可以写出具体装法，1-2,2-3,3-1或者1-3,2-1,3-2，共两种。

但随着元素n的数目增多，分析过程也随之变得更加繁琐。因此，对于这类问题有个固定的递推公式，即n封信的错位重排数为Dn，则Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1)。

根据这个公式，我们还可以提炼出一个性质：n个数的错位重排数Dn是n-a的倍数。

例1.四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法?

A.6种 B.9种 C.12种 D.15种

【中公解析】4位厨师的错位重排数D4=9，即有9种不同的尝法。

验证：设四位厨师为甲、乙、丙、丁，他们的菜对应为①②③④。甲可以选②③④三盘菜，假定选②，甲、乙、丙、丁对应的情况数有②①④③、②③④①、②④①③三种情况。甲人选一盘有3种情况，你那么总共有3X3=9种情况。

例2.五个瓶子都贴有标签,其中恰好贴错了三个,贴错的可能情况有多少种?

A.9种 B.12种 C.18种 D.20种

【中公解析】五个瓶子中恰好有三个瓶子的标签贴错了，我们首先得确定是哪三个错了，即C(5，3)=10种，三个贴错了相当于是3个元素的错位重排，有2种情况，再利用分布相乘10×2=20种。

例3.小明要给自己的6位好朋友分别写一封信，在装信的时候一不小心只有2个信封上写对了地址，问写错的可能情况有多少种?

A.90种 B.115种 C.125种 D.135

【中公解析】6封信只有2封写对了地址，说明有4封写错了，先选出哪4封写错了，即C(6，4)=15种，4封写错了相当于是4个元素的错位重排，有9种情况，再利用分布相乘15×9=135种

为了便于考生们以后在做题过程中快速得到答案，须记住Dn的前5项结果。D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。

中公教育专家认为，错位重排的题目并不难，难点就在于要学会区分题型，只要区分了题型，记住了前4个的错位重排的方法数和公式，题目就自然迎刃而解。区分题型不仅是错误重排的题型的难点，也是整个数学运算的难点，所以做题一定要学会自我总结。

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