韩信点兵问题的最优解法(韩信点兵问题及其算法)

“韩信点兵”的故事家喻户晓。据传：秦朝末年，楚汉相争，有一次韩信带1500名将士与楚军大战，楚军不敌，败退回营，而汉军也有四百多伤亡，只是具体伤亡多少一时还不知道。在汉军整顿回营的过程中，楚军骑兵来袭，于是韩信急速点兵迎敌。不一会儿，副官报告共有1035人，他还不放心，于是他命令士兵3人一列，结果多出2名;接着他命令士兵5人一列，结果多出3名;再命令士兵7人一列，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：值日副官计算错了，我军共有1073名勇士，敌人不足500，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”，于是士气大振，交战不久，楚军便大败而逃。

在三次列队后，韩信是如何算出了士兵的人数?这其中又蕴含着怎样的道理呢?我们把“韩信点兵”故事中涉及到数学关系提炼出来，得到如下表述：有一个介于1000-1100之间的四位数，它除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2，那么这个数是几?此类问题被称之为“剩余问题”，在陕西公务员行测考试中也时常出现。

那么此类问题该如何破解呢?核心思想是：先找到符合要求的数的通项公式，再根据数值的范围确定具体取值。具体操作方法：同余特性。下面华图教育将按照由易到难、从特殊到一般的顺序，和大家分享“同余特性”在“剩余问题”求解过程中的操作步骤。

(一)特殊模型

1.余同加余

若多个除式的被除数相同，余数也相同，那么这个被除数的值等于多个除数的最小公倍数加余数。如：X÷3余1，X÷5余1，那么X=15k+1。

例1.三位数的自然数P满足：除以7余2，除以6余2，除以5也余2，则符合条件的自然数P有：( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

【答案】C。

【华图解析】3个除式的被除数相同，均为自然数P，余数都是2，而除数7、6、5的最小公倍数是210，根据余同加余可得，P=210k+2。再结合题意，P是三位数，有100≤210k+2≤999，k可取值1、2、3、4，所以符合条件的P有4个，答案选C。

2.和同加和

若多个除式的被除数相同，除数和余数的和也相同，那么这个被除数的值等于多个除数的最小公倍数加“除数和余数的和”。如：X÷3余2，X÷4余1，那么X=12k+5。

例2.有一箱水蜜桃二百多个，每堆10个多3枚，每堆12个则余1个。则这箱水蜜桃有多少个?( )

A.243个 B.253个 C.263个 D. 273个

【答案】B。

【华图解析】两个除式的被除数相同，均为水蜜桃的个数，记为X，两式“除数加余数的和”均为13，而除数10、12的最小公倍数是60，根据和同加和可得，X=60k+13。再结合题意，可知200<60k+13<300，k只能取4，所以X=60×4+13=253，答案选B。

3.差同减差

若两个除式的被除数相同，除数和余数的差也相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数减去“除数和余数的差”。如：X÷3余2，X÷4余3，那么X=12k-1。

例3.有一个小于200的正整数m，它除以11余8，除以13余10，则2m-80=( )

A.158 B.200 C.226 D. 244

【答案】B。

【华图解析】两个除式的被除数相同，均为m，两式“除数与余数的差”均为3，而除数11、13的最小公倍数是143，根据差同减差可得，m=143k-3。由题可知0。

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