公约数与公倍数的辨析和应用论文(公约数与公倍数的辨析和应用思维导图)

【导读】

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系题库：公约数与公倍数的辨析和应用。

大家都学习过公约数与公倍数这样的概念，但是有很多人还是分不清楚最大公约数和最小公倍数。在国省考考试中这样的考点可能是单独出题目，也可能是在一些题目求解的过程中考查，这是一个基础且不是很难的考点。因此，我们会带着大家来学习区分他们的不同，并且掌握最大公约数和最小公倍数在解题中的应用。那么，我们先来了解基础的概念吧!

一、基本概念

1. 约数、倍数

如果一个自然数A能被自然数B整除，那么称A为B的倍数，B为A的约数。例如：10÷2=5，我们就称10是2的倍数，2是10的约数。所以倍数与约数是相对的关系。

2. 公约数、公倍数

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，就称这个自然数是这些若干自然数的公约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，就称这个自然数是这些若干自然数的公倍数。例如：2是4、6、10这样数字的公共约数，20是4、5、10这样数字的公共倍数。

3. 最大公约数、最小公倍数

若干个数的公约数中最大的一个就是这些自然数的最大公约数。若干个数的公倍数中最小的一个就是这些自然数的最小公倍数。例如：8和12，两个数字的公约数有多个，比如1、2、4，其中最大的公约数是4。通常我们对于公约数的考查就是求解最大公约数，最小的公约数都是1，这样的求解意义不大。那么，8和12，这两个数字的公倍数也有很多，比如24、48、144等等，但是其最小的公倍数为24。通常考查的是最小公约数，因为我们也看到最大的公倍数是可以在24的基础上无限扩大倍数的，这样的问题没有意义了。

二、求解最大公约数与最小公倍数

在了解了这样三组基本概念之后，相信大家已经掌握了最大公约数与最小公倍数的含义，那么到底怎样找到几个数字的最大公约数或者最小公倍数呢?我们常用的方法是短除法，一起来学习吧。

1. 求解最大公约数

求解两个数字的情况：用短除号用质数做除法，直到两个商互质(即除了1之外没有其他公约数)，最大公约数就是共有约数的乘积，即短除符号左边的数字乘积，最小公倍数就是短除号周围所有数字的乘积。24和36的最大公约数为2×2×3=12，最小公倍数为2×2×3×2×3=72。

2.求解最小公倍数

求解三个或者多个数字的情况：最大公约数是共有约数的乘积，例如24、30、36这三个数的最大公约数为2×2=4。最小公倍数的求解为商必须两两互质才结束短除，短除号周围的所有数值的乘积为最小公倍数，例如这三个数值的最小公倍数为2×2×3×2×5×3=360。

三、题目应用

例1：现在打算用一批正方形地砖铺满一块长24米，宽17米的空地，正方形地砖最大边长为多少?

【解析】根据题意，我们可以得知该空地的长24米需要用N个正方形铺满，同时宽17米也需要用同样的正方形M个铺满，则说明该正方形的边长是24和17的公约数，因为N、M这样的数值表示正方形个数一定是正整数，并且问题求解正方形最大的边长，因此为求解两数的最大公约数。又由于两数互质，则只有公约数1，所以此题答案为1米。

例2：甲每3天去图书馆一次，乙每8天去图书馆一次，3月1日这天两个人恰好在图书馆相遇，请问下一次两人相遇是在哪天?

【解析】根据题意，甲每3天去一次，经过了N个3天，同时乙每8天去一次，可能经过了M个8天，正好两人相遇，因为N、M表示个数为正整数，则说明经过的天数一定是3和8的公倍数，又问下一次相遇，则所求为3和8的最小公倍数，即为24天，经过24天的下一次相遇时间为3月25日。

例3：已知A、B两数的最大公约数为5，最小公倍数为60，则这两个数分别是多少?

【解析】在短除求解最大公约数的过程中，我们可以看到最小公倍数中含有最大公约数，则60÷5=12，12为这两个数除以最大公约数之后得到的两个商的乘积，并且这两个商是互质的，因此12=3×4，所求的两个数分别为5×3=15，5×4=20。

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