整数拆分问题四种解法(求解整数拆分问题)

一道极难理解整数拆分问题的分析<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

近日在很多论坛上看见下面的题目：

将450分成若干个连续自然数的和，有多少种分法？

在2008年中公教育的国家版的教材中也出现了这道题，给出了下面的解析：“610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，显然450的所有奇约数为1，3，5，9，15，25，45，75，225，奇约数的总个数为9，所以拆分的方法有9-1=8种”

很多学员对解析不甚理解。以下从另一个角度来分析这个问题，给出这个题目较为详细的解法，希望能够为广大学员提供一点帮助。

首先题中只说是若干个自然数，所以可以分奇数个和偶数个来讨论。

（1）设610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">（奇数）个连续自然数的和为450，且设中间的数为610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，根据题意可以得到下面的条件组：610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">；610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">（最小的那个数不小于1才能保证都是自然数）。符合以上两个条件的奇数610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">有5个，分别是3，5，9，15，25（610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">为1的情况舍去，因为此时只有一个数450，算不上连续自然数的和），写出来就是：

149+150+151=450；88+89+90+91+92=450，46+47+……+54=450；53+54+……+67=450

6+7+……+30=450

（2）设610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">（偶数）个连续自然数的和为450，且设中间的两个数为610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，同（1）可以得到以下两个式子：610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">。610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，考虑900的偶约数并用不等式加以限制，可以等到符合的610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">有3个，分别是4，12，20。写出来就是：111+112+113+114=450，32+33+……+43=450，13+14+……+32=450

综合（1）、（2）可知，存在3个，或4个，或5个，或9个，或12个，或15个，或20个，或25个连续的自然数的和为450。也就是拆分的办法是8种。

怎么理解教材上的解析呢？其实教材上的解析就是上述解法的一个精炼的叙述！

我们来看上面的拆分方法：

149+150+151=450=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，也就是中间数150的3倍。

88+89+90+91+92=450=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，也就是中间数90的5倍。

46+47+……+54=450=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，也就是中间数50的9倍。

53+54+……+67=450=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，也就是中间数60的15倍。

6+7+……+30=450=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，也就是中间数18的25倍。

以上是运用求奇数个连续自然数和的方法求和的过程。

13+14+……+32=450=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，每两个一组，每组的和是45，共有10组。

32+33+……+43=450=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，每两个一组，每组的和是75，共有6组。

111+112+113+114=450=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，每两个一组，每组的和是225，共有2组。

以上是运用求偶数个连续自然数和的方法求和的过程。

通过以上分析，我们可以知道书中的解析是给出了这8种分法的求和算法。也就是说450的每一个大于1的奇约数都对应着450的一种符合题意的拆分方法，因此450的大于1的奇约数的个数就是题中所求。

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