容斥问题极值公式推导(容斥问题求极值)

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来行测答题技巧：如何解决容斥极值问题？

容斥问题是考试中一大重要题型，大部分同学对容斥问题是比较熟悉的。今天这篇文章我们要给大家介绍的并不是普通的容斥问题，而是容斥中的极值问题，简而言之就是将容斥问题和极值问题结合起来进行考察的题目。主要包含以下两种：

一、可以直接利用公式解决的题型

对容斥极值问题而言，若求的是几个集合公共部分的最小值问题，我们可以直接套用公式，下面3个公式需要同学们牢牢记住：

注：公式中的A、B、C、D代表的是每一个单独的集合,I代表的是全集。

具体我们通过3个例子，详细进行说明：

例1：小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题。问两人都做对的题目至少有几道?

解析：通过阅读题干信息，我们不难发现，两个单独的集合A、B分别代表的是小明做对的题目数68和小刚做对的题目数58，而全集I就是考试总题目数100，现要求两人都做对的题目至少有几道就是两个集合公共部分的最小值，直接套用公式可得68+58-100=26。

例2：小明、小刚、小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几道?

解析：由题可知，小明、小刚、小红做对的题目数分别代表了三个单独的集合A、B、C，全集I为考试的题目总数，现求三个集合公共部分的最小值直接由公式可得68+58+78-2×100=4。

例3：.小明、小刚、小红和小军四人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了88题，小军做对了91题。问四人都做对的题目至少有几道?

解析：由题可知，小明、小刚、小红和小军做对的题目数分别代表了四个单独的集合A、B、C、D，全集I为考试的题目总数，现求四个集合公共部分的最小值直接由公式可得68+58+88+91-3×100=5。

二、不可以直接利用公式解决的题型

在容斥极值问题中，若并非求得是几个集合公共部分的最小值问题，那就不能直接使用上面的公式解决，要结合具体题目进行具体分析。下面通过一道例题进行说明：

例：图书馆有100本书，借阅图书者需在图书馆上签名。已知这100本书中有甲乙丙签名的分别是33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本。问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?

A、27 B、28 C、32 D、33

【答案】D。解析：由题意可设，有甲乙丙签名的图书为x本，没有被甲乙丙签名的图书为y本，可得方程：33+44+55-29-25-36+x+y=100，整理可得x+y=58，现要求y的最小值，那x就要尽可能的大，x最大为25，可得y的最小值为33，答案选D。

那今天这篇文章要给各位同学分享的内容就结束了，希望所有的同学看完本篇文章之后对容斥极值问题会有一个全新的认识，也能轻松解决该类题型。

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