数列递推关系是什么(数列递推关系的几种常见类型)

递推数列专指是从数列的某一项开始，后面的项都是通过它前边的若干项进行四则运算得出的数列。前项在进行四则运算推出后项的时候，有时会需要进行修正，这就引出了修正项的概念。例如2、3、7、22，这样的一个递推数列中，2*3+1=7,3*7+1=22，数列从7开始，此后的每一项都是由它前两项相乘再加1得来，其中+1就是修正项。

变化形式一：常数数列(同样数字构成的数列，例如7、7、7、7、…)。

【例1】3、6、8、13、20、( )

A.31B.28C.42D.32

【解析】从括号前两项入手判断趋势，20不到13的二倍，初步判定是加法的递推，验证得出：3+6-1=8;6+8-1=13;8+13-1=20。因此()=13+20-1=32，答案选D。

【注】此题的修正项为-1、-1、-1、…就是一个常数数列。很容易知道下一项的修正项依旧是-1.

变化形式二：基础数列(等差数列、等比数列、质数合数数列、周期数列等等)。

【例2】2、2、3、4、9、32、( )

A.129B.215C.257D.283

【解析】依旧从括号前两项去判断趋势，32接近9的4倍即36，通过前项验证得出：2*2-1=3;2*3-2=4;3*4-3=9;4*9-4=32.其规律是：前两项相乘减去一个1、2、3、4、…的等差数列得到后一项。故()=9*32-5=283.答案选D。

【注】基础数列有很多种类，是修正项的一种主流形式，在此要提醒广大考生注意的是合数(4、6、9、10、12…)和质数(2、3、5、7、11、13…)以及非合数(由1和质数数列构成)和非质数(由1和合数数列构成)这四类基础数列。

变化形式三：正负数列(正负号交替出现的数列)

【例3】3、7、16、107、( )

A.1707B.1704C.1086D.1072

【解析】判断趋势，107接近16和7的乘积，验证得出：3*7-5=16;7*16+5=107，可知这是一个乘积的递推数列，而修正项是-5、+5、-5…的正负数列，故()=16*107-5=1707，答案为A。

【注】正负数列的典型特征就是正负号交替出现，如果排除正负号的因素，剩余的数字构成的就是常数列、基础数列以及前项相关数列，例如-1、+1、-1、+1…;+1、-2、+3、-4、+5…等。

变化形式四：前项相关数列(修正项为原数列的前项或前项的变型)

【例4】1、1、3、7、17、41、( )

A.89B.99C.109D.119

【解析】从17和41两个数进行趋势推测，推定是2倍关系的递推数列，验证：17*2+7=41;7*2+3=17;3*2+1=7; 1*2+1=3.修正项为+1、+1、+3、+7…为原数列，即第二项的2倍加上项得出第三项，以此类推，()=41*2+17=99，答案为B。

【注】当发现修正项本身不成规律时，通常都是原数列演变而来的。此题就是一道典型题目，即修正项为原数列的前项。

【例5】2、3、13、175、( )

A.30625B.30651C.30759D.30952

【解析】175接近13的平方数169，初步推断该数列为平方递推数列，验证：132+6=175;32+4=13;22-1=3.得到修正项：-1、4、6…，乍看之下修正项没有规律，但是与原数列的前项进行关联，则会发现4=2*2;6=3*2.因此发现本题的规律为2*2+32=13; 3*2+132=175，故此()=13*2+1752=30651，答案选B。

【注】此题难度较大，因为其修正项是在原数列前项的基础上进行了简单的变型，让人无法一眼看出规律，需要进行大胆的猜测和验证。在此要提醒广大考生，在做数字推理题目的时候，可以根据数列的趋势进行一定的猜测，也就是我们通常所说的“大胆假设、小心验证”。而这种猜测的正确率依赖于我们日常所培养的数字敏感性。即需要通过练习真题找到做题的感觉。

递推数列并不像分数数列、幂次数列等具有明显的外在特征，因此在推测规律时具有一定的难度。通过以上五道例题，我们能够把握住递推数列的趋势判断方法，即通过括号前两项或三项之间的关系来推断，进而在验证的同时，发现修正项的规律，从而发现规律使题目得解。

总而言之，在递推数列中，修正项的变化形式一共有四种：常数数列、基础数列、正负数列和前项相关数列。在此要重申以引起大家注意的是前项相关数列中的前项变型。大家一定要用心掌握，以在考试中得心应手的面对此类题型。

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