一元二次函数最值求法(一元二次函数求最值公式推导)

在行政职业能力测验的数学运算部分中，有一类题目的问法比较固定，题干会出现“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼。这类题目统称为“极值问题”或者“最值问题”。这类题目的整体思想就是“等”、“均”、“接近”。公考资讯网在此通过简单例题说明该思想。

例：若两个自然数的和是10，求这两个自然数的积的最大值。

利用枚举法观察：

这两个自然数分别是1、9，积为9;

这两个自然数分别是2、8，积为16;

这两个自然数分别是3、7，积为21;

这两个自然数分别是4、6，积为24;

这两个自然数分别是5、5，积为25;

显然，当这两个自然数均为5的时候，乘积取得最大值25，且观察发现这两个自然数越接近，则乘积越大。所以两数和一定，这两个数的差越小，则这两数的积越大。利用这个原理，可以巧妙地解决一元二次函数的最值问题。

一元二次函数的基本形式是 ，(当b>0时，y有最小值;当b<0时，y有最大值)，当 时，y取到最值，将x带入函数式求得具体的最值。该函数在数学运算中的常见考法如下：

例1：某期刊以每本2元的价格发行，可发行10万份。若该报刊单价每提高0.2元，发行量将减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?

A.24 B.23.5 C.23 D.22.5

分析：报刊销售收入=报刊单价×发行量，假设单价提高x次，报刊的销售总额收入为y，则y=(2+0.2x)×(10-0.5x)。将该函数化简成上述的一般形式后，再套用时，求得最值。显然化简过程复杂，计算量较大。建议采用“均”的思想。

【答案】D。参考解析：将y=(2+0.2x)×(10-0.5x)中x的系数化简成1，则原式变为y=0.2×0.5×(10+x)×(20-x)，观察发现10+x与20-x的和(10+x)+(20-x)=30为定值。题目求y的最大值，也就是求10+x与20-x乘积的最大值，根据上面结论，和一定时，要想乘积最大，则这两个数相等，即10+x=20-x=30/2=15时，此时x=5，y=0.1×15×15=22.5。选择D选项。

例2：一厂家生产销售某新型节能产品，产品生产成本是168元，销售定价为238元，一位买家向该厂家预定了120件产品，并提出如果产品售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中所获得的最大利润是( )元。

A.17920 B.13920 C.10000 D.8400

【答案】C。参考解析：总利润=单利润×销售量，原利润=238-168=70元，假设一共降低x次售价，总利润为y元，则y=(70-2x)×(120+8x)，化简成y=16(35-x)×(15+x)。观察发现35-x与15+x的和为定值50，所以当35-x=15+x=50/2=25时，y取到最大值，此时y=16×25×25=10000。选择C选项。

例3：某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的单价就降低10元。当旅行团的人数是多少时，旅行社可获得最大营业额?

A.55 B.25 C.34 D.60

【答案】A。参考解析：营业额=单价×人数，假设一共增加x人，营业额为y元，则y=(800-10x)×(30+x)，化简成y=10(80-x)×(30+x)。观察发现80-x与30+x的和为定值110，所以当80-x=30+x=110/2=55时，y取到最大值，此时旅行团人数为55人。选择A选项。

不难发现一元二次函数求最值的考查相对固定，解题方法简单灵活，公考资讯网希望各位考生能在考试的过程中辨别题型，快速列式，一举拿下该题型!

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