均值不等式经典例题及解析(均值不等式例题及解法)

均值不等式是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn ≤Gn ≤An ≤ Qn， 即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。不过在行测考试的数学运算中，涉及均值不等式的考察仅仅用于几何平均数和算术平均数，这个知识点一般是结合几何问题和利润问题来考察的。中公教育专家认为大家在应用过程中不需要死记公式，领会下面两句话就可以快速解题了：

(1)两个数的和为定值时，这两个数越接近，它们的乘积越大。

(2)两个数的乘积为定值时，这两个数越接近，它们的和越小。

规律中的“两个数”可以替换成“多个数”。比如说当a+b=24的时候。a×b可以取到最大值，此时a×b的最大值为144。a=b=12的时候取到最大值。反过来。当a×b=64时，a+b在a=b=8的时候取到最小值16。

例1.现在有一段长为40米的篱笆，要围成一个矩形菜园，菜园的一边是足够长的墙，请问当矩形的长和宽分别人多少的时候，这个矩形菜园的面积最大?

答案：D。中公解析：假设矩形的长为a，宽为b，根据题意，有a+2b=40，矩形的面积为a×b，这里要注意不是a=b 的时候a×b取得最大值，而应该把2b看作一个整体，即a=2b时候，a×2b取得最大值，同时a×b也取得了最大值。a=2b=20，所以a=20，b=10，矩形的最大面积为a×b=200，故答案选择D。

例2.某商品单价为60元，每周可以卖出160件，经市场调研发现，商品价格每上调一元，销量每周会下降两件，那么要让每周的总收入最大，商品的定价应该多少?此时总收入为多少?

A 70 , 9800 B 75 , 9750 C 78 , 9720 D 80 , 10200

答案：A。中公解析：假设上调x元，则单价变为60+x，销量变为160-2x，则根据公式：总收入=单价×销量=(60+x)×(160-2x)，要让这个式子取到最大值。结合前面的规律，两个数乘积要最大，如果两个数的和为定值，就很容易了。而公式中60+x和160-2x这两个数的和不是一个定值。但是可以通过变形，使得变形之后两个量的和没有未知数。(60+x)×(160-2x)=(120+2x)×(160-2x)/2，当右边的式子取到最大值时。左边的式子也取得了最大值。当120+2x=160-2x。解得x=10，此时商品的定价为70元，每周的收入达到了最大值。最大收入为70×140=9800元，故选A。

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