做对做错问题与简单不定方程的题目(做对做错问题与简单不定方程的关系)

做对做错问题与简单不定方程<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

公务员考试中的数学运算部分经常出现做对做错问题，题干往往是如下字眼：考试中，做对一题得几分，做错一题扣几分，给出最后得分，要求做对或做错多少题，有时是生产零件之类的，意思大致如此。这种题目归纳起来有两种，第一种是设未知数，依题意可列出与未知数个数相等的互不干扰的几个方程，直接把所求解出，这类题多数考生都很熟悉，此处不在赘述。第二种也是设未知数，但题中已知的等量关系不足以解出所求的未知量，通常出现两个未知数一个方程，三个未知数两个方程的情景。此时就需要运用题中的不等关系或未知量的限制条件结合等量关系解出所求。这就涉及到下面要讲到的简单不定方程及其解法。希望能给读者一定的帮助。

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。简单不定方程的未知数最高次数为一，公考中多涉及二元一次不定方程。下面通过几个例子简单说明简单不定方程的解法。

例1：小明参加考试，一共有20道题，答对一题得5分，答错一题扣2分，不答不得分也不扣分。小明最后得分为56，问小明有多少题没有作答？这是一个典型的不定方程问题，题中只有两个等量关系，即总题数和总得分，但有三个未知数。由于最后所求的“没有作答的题数”不涉及分数，故先可设答对的题目数为x,答错的题目数为y,则5x-2y=56,这时需要结合题中的另一个等量关系，相对x,y与就是一个不等关系，即x+y<=20。这种情况下通常是根据等式消元，根据不等式解出其中一个未知数的范围。此题中由等式可得x=(56+2y)/5……（1）式,代入有： 610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">解得610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">……（2）式，由于x为非负整数，由（1）式知2y的尾数必为4，这样才能整除分子5。结合（2）式可知y有唯一取值2，结合等式可知x的取值为12，从总数20中减去x和y就得到没答的题目共有6道。

上面的例子给出了简单不定方程的一种解法，总结起来就是等式与不等式结合并利用未知数的限制条件解出所求。公务员考试中数字运算都为选择题，考生不必有如此细致的分析，只须根据其中的等量关系运用带入法将各个选项检验选出符合题意的即可。下面再看一个例子：

哥哥和弟弟养了N只羊，全部卖出后发现每只羊恰好赚了N元，哥哥和弟弟准备平分这些钱。哥哥先拿走10元，接着弟弟拿走10元，哥哥又取走10元，弟弟接着取走10元……，最后哥哥又取走10元，发现剩下的不够10元了，问哥哥应给弟弟几元才能保证两人最后的钱数目相等？

观察题目不难发现题中的等量关系并不多，列出方程解出两人共赚了多少钱的方法不可行的。但仔细分析会发现其中有很多隐含的条件。（1）总钱数是正整数，且为偶数，这样两人才能按题中的方式平分钱。总钱数为610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，这是一个完全平方数。（2）题中所描述的分钱方式表明一个回合取走20元，最后一个回合不足20元，但比10元要多。也就是总钱数可以表示为20m+n，其中m为正整数，n为大于10到小于20的整数。（3）要确定哥哥最后应给弟弟几元实质是确定总钱数的尾数。

明确了以上三点，可以有一个较为清晰的思路解决这个题目。设总钱数=610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">=20m+n，其中m为正整数，n为大于0到小于10的整数。由（1）610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">为偶数平方数，其尾数必为0，6，4；由（2）可知610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">的尾数必不为0。所以610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">的尾数必为4或6，也就是610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">的尾数必为2，8或6。以下分情况讨论。

（1）当N的尾数为2时，考虑N为两位数的情况，则N可表示为10a+2,则610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，显然前两项能整除20，但4不在10与20之间，即此时610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">不能表示成20m+n（其中m为正整数，n为大于0到小于10的整数）的形式，故N的尾数为2的情况不能成立。

（2）当N的尾数为8时，考虑N为两位数的情况，则N可表示为10a+8,则610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，显然4不在10与20之间，即此时不能表示成20m+n（其中m为正整数，n为大于0到小于10的整数）的形式，故N的尾数为8的情况不能成立。

（3）当N的尾数为6时，考虑N为两位数的情况，则N可表示为10a+6,则610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">，显然此时610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">能表示成20m+n（其中m为正整数，n为大于0到小于10的整数）的形式，故N的尾数为6的情况成立。

以上三种情况分析的是N为两位数的情况，事实上当N为一位数时，可直接检验发现N的尾数只能为6；当N为多位数时改变N的表示方法，同样的方法亦可得出只有N的尾数为6的情况成立。

综上所述，N的尾数只能为6，所以610)this.style.width=610;" onmousewheel="return bbimg(this)">的尾数为6，即在哥哥最后一次取钱时，还有16元，哥哥取走10元后还剩6元，哥哥应给弟弟2元才能使两人最后的钱数相等。

上面的题目在等量关系不多的情况下充分利用题目中隐含条件的利用，通过分类讨论分析简单不定方程达到了解题的目的。

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