椭圆的方程公式大全总结(椭圆的各种方程)

一、教学内容：椭圆的方程

高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质.

重点：椭圆的方程与几何性质.

难点：椭圆的方程与几何性质.

二、知识点：

1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质

定 义第一定义：平面内与两个定点　)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 第二定义：

平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0

标

准

方

程焦点在x轴上

焦点在y轴上

图 形焦点在x轴上

焦点在y轴上

性 质焦点在x轴上

范 围：

对称性：　轴、　轴、原点.

顶点：　，　.

离心率：e

概念：椭圆焦距与长轴长之比

定义式：

范围：

2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a

(2)余弦定理：　+　-2r1r2cos(3)面积：　=　r1r2 sin　?2c| y0 |(其中P(　)

三、基础训练：

1、椭圆　的标准方程为

，焦点坐标是　，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆　的值是__3或5__;

3、两个焦点的坐标分别为　___;

4、已知椭圆　上一点P到椭圆一个焦点　的距离是7，则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，　，则椭圆的离心率为6、方程　=10，化简的结果是　;

满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为

8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系　顶点　，顶点　在椭圆　 上，则10、已知点F是椭圆　的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x≥0)是椭圆上的一个动点，则　的最大值是 8 .

【典型例题】

例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.

(2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.

解：设方程为　.

所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为　，求以　为焦点且过点　的椭圆方程 .

解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为　∴所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程.

解：设方程为

例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)　为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且　、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).

解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、　在　轴上，

则　=|OA|-|O　|=|　A|=6371+439=6810

解得　=7782.5，　=972.5

.

卫星运行的轨道方程为

例3、已知定圆

分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值　根据图形，用数学符号表示此结论：

上式可以变形为　，又因为　，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆

解：知圆可化为：圆心Q(3，0)，

设动圆圆心为　，则　为半径　又圆M和圆Q内切，所以　，

即　 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以　，故动圆圆心M的轨迹方程是：

例4、已知椭圆的焦点是　|和|(1)求椭圆的方程;

(2)若点P在第三象限，且∠　=120°，求　.

选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.

解：(1)由题设|　|=2|　|=4

(2)设∠　，则∠　=60°-θ

由正弦定理得：

由等比定理得：

.

说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答

例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向　轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M的轨迹(若M分 PP?@之比为　，求点M的轨迹)

解：(1)当M是线段PP?@的中点时，设动点　，则　的坐标为

因为点　在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有 所以点

(2)当M分 PP?@之比为　时，设动点　，则　的坐标为

因为点　在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有　，

例6、设向量　=(1， 0)，　=(x+m)　+y　=(x-m)　+y　|+| (I)求动点P(x，y)的轨迹方程;

(II)已知点A(-1， 0)，设直线y=　(x-2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得　?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.

解：(I)∵　=(1， 0)，　 =(0， 1)， |　=6

上式即为点P(x， y)到点(-m， 0)与到点(m， 0)距离之和为6.记F1(-m， 0)，F2(m， 0)(0

∴ |PF1|+|PF2|=6>|F1F2|

又∵x>0，∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.

∵ 2a=6，∴a=3

又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2-c2=9-m2

∴ 所求轨迹方程为　(x>0，0

( II )设B(x1， y1)，C(x2， y2)，

∴∴ 而y1y2=　(x1-2)?　(x2-2)

=　[x1x2-2(x1+x2)+4]

∴　 [x1x2-2(x1+x2)+4]

=　[10x1x2+7(x1+x2)+13]

若存在实数m，使得　成立

则由　[10x1x2+7(x1+x2)+13]=

可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①

消去y，得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②

因为直线与点P的轨迹有两个交点.

由①、④、⑤解得m2=　<9，且此时△>0

但由⑤，有9m2-77=　<0与假设矛盾

∴ 不存在符合题意的实数m，使得

例7、已知C1：　，抛物线C2：(y-m)2=2px (p>0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;

(Ⅱ)若p=　，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

解：(Ⅰ)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1，　)或(1，-　).

此时C2的焦点坐标为(　，0)，该焦点不在直线AB上.

(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时，由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).

因为C2的焦点F′(　，m)在y=k(x-1)上.

所以k2x2-　(k2+2)x+　=0 ②

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③

由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1+x2=

又m=-　∴m=　或m=-

当m=　时，直线AB的方程为y=-　(x-1);

当m=-　时，直线AB的方程为y=　(x-1).

例8、已知椭圆C：　(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e.直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设　=　.

(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若　，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程;

(Ⅲ)确定解：(Ⅰ)因为A、B分别为直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A(-　，0)，B(0，a).

(Ⅱ)当　时，　∴a=2c

由△MF1F2的周长为6，得2a+2c=6

∴a=2，c=1，b2=a2-c2=3

故所求椭圆C的方程为

(Ⅲ)∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即　|PF1|=C.

设点F1到l的距离为d，由

即当(注：也可设P(x0，y0)，解出x0，y0求之)

【模拟试题】

一、选择题

1、动点M到定点　和　的距离的和为8，则动点M的轨迹为

A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线

2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

A、　C、2-　-1

3、(2004年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C：　的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为

A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定

4、椭圆　的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为

A、32 B、16 C、8 D、4

5、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上，则　的最小值为

6、我们把离心率等于黄金比　是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则　等于

A、　C、

二、填空题

7、椭圆　的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 .

8、设F是椭圆　的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1，2，　)，使得|FP1|、|FP2|、|FP3|…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .

9、设　，　是椭圆　的两个焦点，P是椭圆上一点，且　，则得　.

10、若椭圆　=1的准线平行于x轴则m的取值范围是

三、解答题

11、根据下列条件求椭圆的标准方程

(1)和椭圆　共准线，且离心率为　.

(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为　和　，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.

12、已知　轴上的一定点A(1，0)，Q为椭圆　上的动点，求AQ中点M的轨迹方程

13、椭圆　的焦点为　=(3， -1)共线.

(1)求椭圆的离心率;

(2)设M是椭圆上任意一点，且　=　、　∈R)，证明　为定值.

【试题答案】

1、B

2、D

3、A

4、B

5、D(法一：设　，则y=kx代入椭圆方程中得：(1+2k2)x2-4x+3=0，由△≥0得：　.法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)

6、C

7、(　;(0，　);6;10;8;　;　.

10、m<　且m≠0.

11、(1)设椭圆方程　.

所求椭圆方程为　的坐标为

13、解：设P点横坐标为x0，则　为钝角.当且仅当　.

14、(1)解：设椭圆方程　，F(c，0)，则直线AB的方程为y=x-c，代入　，化简得：

由　=(x1+x2，y1+y2)，　共线，得：3(y1+y2)+(x1+x2)=0，

又y1=x1-c，y2=x2-c

∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0，∴ x1+x2=

(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆　可化为x2+3y2=3b2

∵M∴ 2+3

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