用功能求解相关速度的方法(用功能求解相关速度的公式)

用功能求解相关速度

江西省抚州市临川二中　周　勇

同学们经常遇到这样一类问题：几个物体的运动存在着某种关系，根据其中一个物体的运动速度求其它物体的运动速度，这类问题称为相关速度问题。相关速度问题一般用以下三个结论：

1．刚性杆，绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度；

2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同；

3．线状交叉物系交叉点是相交物系双方沿双方切向运动分速度的矢量和。

通常是将有关速度进行矢量分解，而根据平行四边形法则，一个速度矢量可以有无数多种分法，在这无数多种分法中应该选取哪一种，同学们是很感困难的，这对于同学们来说难度较大，不易理解和掌握。其实我们可以从功能角度分析相关速度问题，解题过程简捷且容易理解和掌握。现介绍如下：

一、从能量守恒角度分析相关速度问题

由轻绳、轻杆连结的物体，由于轻绳、轻杆的质量为零，根据能量守恒定律，其中一个物体对轻绳、轻杆的做功功率等于轻绳、轻杆对其它物体做功的功率。

例1．如图，两只小环O和O′分别套在静止不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子一端系在A′点上，并穿过环O′，另一端系在环O上，如图所示。若环O′以恒定速度v'向下运动，求当∠AOO′＝α时，环O的速度v。

解析：环和环被轻绳连结，则环对轻绳做功功率等于轻绳对环做功功率。

环对绳子做功功率为：

轻绳对环做功功率为：

由得：

例2．如图，一辆汽车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升井中质量为的物体，设绳的总长度不变，定滑轮的质量和尺寸及滑轮上的摩擦不计，定滑轮距离地面的高度为。开始时车（可看做质点）静止在点，左右两侧绳都是绷紧且竖直的，提升时，车加速向左运动，沿水平方向从经驶向，如图2所示，车过点的速度为，此时绳与水平面的夹角为，求车由驶到的过程中，绳端的拉力对井中物体做的功？

解析：本题虽然求的是变力做的功，但关键是求汽车过点时物体的速度。设汽车过点时对绳的拉力为，重物的速度为。由几何关系可知

汽车在点时对绳做功功率为：

此时绳端对重物做功功率为：

　　由得：

重物被提升的高度：

　　绳端对物体做的功为：

　　二、从内力做功角度分析相关速度问题

当两个相互关联的物体间的相互作用力是保守力时，即重力、弹力、万有引力以及静电力等。这一对作用力和反作用力做功的瞬时功率的代数和为零。

例3．如图所示，半圆型物体A水平向右运动，推动直杆竖直向上运动，当半圆型物体A的速度大小为时，直杆与物体的交点和半圆型物体的圆心的连线跟水平方向成θ角，求此时直杆的速度大小？

解析：设半圆型物体与直杆间相互作用的弹力大小为，直杆的速度大小为 。

直杆对物体的弹力做功瞬时功率为：

　　物体对直杆的弹力做功瞬时功率为：

　　由， 得 。

例4．如图，直杆在处通过绞链固定，杆与地面间放有一高度为的方木块，当杆以角速度顺时针匀速转动至与水平面成角时，木块运动速度多大？

解析：设杆与木块间相互作用的弹力大小为，木块运动速度为，杆与方木块的交点的速度大小为：

直杆对方木块的弹力做功瞬时功率为：

　　方木块对直杆的弹力做功瞬时功率为：

　　由得， 。

　　例5．如图，是质量为，半径为的光滑半球形碗， 放在光滑的水平桌面上。是 质量为的细长直杆，被固定的光滑套管 约束在竖直方向，可自由上下运动。碗和杆 的质量关系为。初始时，杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触，如图。然后从静止开始释放，、便开始运动．设杆的位置用表示，为碗面的球心O至杆下端与球面接触点的连接方向和竖直方向之间的夹角。求与的速度大小。

解析：取地面为参考系，任何时刻，沿竖直方向运动，设其速度为，B沿水平方向运动，设其速度为，两者间仅存在法线方向弹力相互作用和，其中A杆所受弹力N对杆做功的瞬时功率大小为：

碗所受弹力N 对碗做正功的瞬时功率大小为

由，得。

总评：轻绳、轻杆，以及两个相互关联的物体间的相互作用力是保守力，例如弹力时，他们都既不会提供能量，也不会消耗能量，其作用就是起到传递能量的作用，故任何时候输入功率与输出功率相等。

从功能角度分析相关速度问题，本质上揭示物体之间的速度关系思路简捷，不易出错。并可加深对功和能的知识的认识和理解，有助于学生吃透相关速度问题，更有利于克服同学们的思维障碍，易于理解接受。

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