一道福建高考题的背景是什么(一道福建高考题的背景分析)

今天又是分享一道有着高等数学背景的高考题，这是来自福建2013年文科数学的一道填空题，其背后涉及到康托尔的理论。

【原题】设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足;

(i);(ii)对任意的,当时,恒有.那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:

①;A=N,B=N+

②;A={x|-1≤x≤3}，B={x|-8≤x≤10}

③：A={x|0<x<1},B=R

其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)

解析：稍加分析即可知道，本题实际上就是要寻找“定义域为A，值域为B的单调递增函数”，对于第一对集合，y=x+1（x∈N）恰好满足；第二对集合，便很符合，实际上对于任意两个闭区间或开区间，都可以构造这样的函数；至于第三对集合，有些难度，一个比较容易想到的函数是

，其图像如右图所示，实际上，对于任意一个开区间（a，b），都可以构造一个值域x∈R的函数。由此可以知道，题目所给的任何一对集合都满足保序同构。

回味此题，特别是最后一个我们可以发现：既然可以构造一个定义域为（0,1），值域为R的单调递增函数，这就意味着可以建立一个从（0,1）到R的一一映射，这就意味着“（0,1）内的实数与R内的实数个数是相同的”，这便是康托尔当年所发现的“基数”——只要能建立起一一对应的集合，就说这两个集合的基数相同。对于一般的，有下面些结论成立：

①[a，b]，（a，b]，（a，b）等实数区间于R基数相同；

②N，Q，Z，N+的基数相同

但是N与R，（a，b）等的基数就不相同，你可以形象化地理解为一个离散，而一个连续，对于应付往后的类似高考题已经足够。

来源：学夫子博客

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