0到139考研数学核心要义(考研数学核心知识点总结)

5.幂级数的求和与展开

处理此类问题可以从工具和思路两个方面来把握。

工具包括通用函数f(x) 的泰勒级数、通用函数的泰勒级数、逐项微分和积分定理。理解这三个部分是处理求和、展开问题的前提。

将函数展开为幂级数有两种方法：直接法和间接法。真题大多采用间接法。所谓间接法，就是记住常用函数的泰勒展开式，然后看题中给出的函数与哪个公式相似，然后朝那个公式的方向变形。变形的方法有基本变形（如分裂项）、求导和求积等。后一种变形方法的测试频率较高。这种变形也可以这样理解：题中给出的函数不能直接用公式设定，也不能在基本变形后用公式设定。然后考虑取导数或积分，将计算出的函数集公式展开成幂级数，然后做逆运算还原。

幂级数求和本质上就是将函数展开为幂级数的逆过程，可以类似地考虑。

6. 经济应用（第3号）

经济应用包括三个方面：最优值问题、边际问题和弹性问题。最优值问题需要熟悉经济学中常用量（收入、利润、成本、价格和销量）之间的关系，并在此基础上写出函数表达式，然后转化为普通的高数最优价值问题； “边际”对应“导数”“例如，边际利润是利润函数L(Q)的导数；弹性则需要记住需求弹性的基本公式。

7. 多变量积分（第一）

多变量积分是数学考试中的必考题型。平均每年有一个大问题和一个小问题。这部分包括三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。主要测试是计算。

在基础阶段，考生需要区分这几类积分和几大公式，重点掌握计算方法。

三重积分被视为二重积分的推广，计算方法是将其转换为第三定积分（或定积分和二重积分）。具体计算方法有“先一后二”、“先二后一”和球坐标三种。

第一类曲线积分计算方法可以概括为“引入并定义极限”。对称性降低类似于重积分。

第二类曲线积分的计算方法也可以概括为“引入并确定极限”，但确定极限与第一类曲线积分的“从小到大”不同，而是“从起点到终点”。当然，这类积分更重要的计算方法是利用格林公式。从考试的角度来看，这部分的重点是格林公式、其关联积分和路径独立性，以及两个变量的全微分演算。

第一类曲面积分计算方法可以概括为“引入投影”。对称性降低类似于重积分。

第二种曲面积分计算方法也可以概括为“带入投影”，但投影时必须考虑方向。从考试的角度来看，本节的重点是高斯公式。

斯托克斯公式本身形式比较复杂，测试要求也不高：只需记住基本公式并弄清楚何时使用即可。计算第二种曲线的积分。当积分曲线不易参数化时，可考虑此公式。

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