考研数学绝对值问题(绝对值运算法则考研数学)

形状为y=|x-a|+|x-b| 的函数称为绝对值求和函数。其几何意义是x到数轴上两点a、b的距离之和。随着x向数轴两端移动，value，这个函数的值会越来越大，并且没有最大值。当x取a和b之间的值（包括端点）时，y值不会改变。此时最小值|a-b|获得。我们将根据函数y=|x-a|+|x-b| 对其进行变形得到新的绝对值函数。

首先我们增加绝对值的个数，让y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，几何意义变成x到三点的距离之和。没有本质的改变，仍然没有获得最大值。但最小值已更改。前面两点中，取两点之间的值即可得到最小值。三分的情况就变得稍微复杂一些。我们让，使得b点在另外两点的中间，我们让x在a中，取c的两点之间的值，这样到的距离之和，即y得到x=b时的最小值，即是三个绝对值的函数。当x取中间数时，y取最小值。同理，当我们进一步将绝对值的个数增加到n时，函数就变成了

，我们只需要将这n个点从小到大排序即可。若n为奇数，则x取中间点的值，使y取最小值；如果n 是偶数，则x 位于两个中点之间。该值可以使y取最小值。特别是，如果两个中点相等，则x 的值仅为1，而不是范围。

其次，我们改变x的系数，令y=|2x-a|+|2x-b|，发现如果所有y的系数=|k-a|+|k-b|与y=|x-a|+|x-b|的表达形式相同，求最优值的方法也相同。但如果我们只改变其中一个系数，情况就不同了。例如，我们可以y=|2x-a|+|x-b|。这时它的几何意义就变成了2x到a的距离和x到b的距离之和，那么我们如何求这样一个函数的最大值呢？其实很简单。我们只需要把绝对值分开即可，如下

，这成为我们解决的第一类问题。如果我们进一步展开y=|mx-a|+|nx-b| 的话，只需要将x 的系数统一为相同即可，所以即使m 与n 互质也没关系，甚至可以是一个分数。

综上所述，我们遇到绝对值和函数的问题都可以轻松解决。无论是大量的绝对值，还是x的系数不均匀，都不再是解决问题的障碍。通过简单的变换就可以轻松求解出使函数取得最小值的自变量的范围和最小值。

（本文由跨考教育教研室梁益群老师原创，转载请注明出处。）

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