考研数学高数定理定义总结与反思(考研高数定理汇总)

考研高等数学定理定义汇总

第一章功能与限制

1、函数的有界性在定义域内有f(x)K1，则函数f(x)在定义域内有下界，K1为下界；如果f(x)K2，则存在上界，K2称为上界。函数f(x) 在定义域内有界的充分必要条件是，在定义域内同时存在上界和下界。

2、序列的极限定理（极限的唯一性）序列{xn}不能同时收敛到两个不同的极限。

定理（收敛序列的有界性） 如果序列{xn} 收敛，则序列{xn} 必定是有界的。

如果序列{xn}是无界的，那么序列{xn}必定发散；但如果序列{xn}有界，则不能断定序列{xn}一定收敛，例如序列1,-1,1,-1,(-1)n+1.这个序列有界但发散，因此有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

定理（收敛序列与其子序列之间的关系） 如果序列{xn} 收敛于a，则其任何子序列也收敛于a。如果序列{xn} 有两个收敛到不同极限的子序列，则序列{xn} } 是发散的，例如序列1, -1, 1, -1, (-1)n+1.中子序列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，但{xn}发散；同时，发散序列的子序列也可能是收敛的。

3. 函数极限在函数极限的定义中，0|x-x0|意味着xx0，所以当xx0时f(x)是否有极限与f(x)是否定义在点x0无关。

定理（极限内局部符号保全）若f(x)=A，当lim(xx0)时，且A0（或A0），点x0存在一定的偏心邻域，当x在邻域内域中，存在f(x)0 （或f(x)0），反之亦然。

函数f(x) 极限存在的充要条件存在。

一般来说，如果lim(x)f(x)=c，则直线y=c 就是函数y=f(x) 的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=，则直线x=x0 是函数y=f(x) 图的垂直渐近线。

4、极限算术规则定理：有限个无穷小数之和也为无穷小；有界函数和无穷小函数的乘积是无穷小；常数和无穷小数的乘积是无穷小；有限数量的无穷小数的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)F2(x )，且limF1(x)=a，limF2(x)=b，则ab。

5. 极限存在判据两个重要的极限是lim(x0)(sinx/x)=1； lim(x)(1+1/x)x=1。钳位准则如果序列{xn}、{ yn}、{zn} 满足以下条件：yn xn zn 且limyn=a、limzn=a，则limxn=a，此准则对于函数也成立。

单调有界序列必须有极限。

6. 函数的连续性假设函数y=f(x) 定义在点x0 的某个邻域内。若xx0时函数f(x)有极限，则其等于其在x0点的函数值。 f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在x0点连续。

不连续情况： 1、在点x=x0处没有定义； 2、虽然定义为x=x0，但lim(xx0)f(x)不存在； 3.虽然定义在x=x0且lim(xx0)f(x)存在，但当lim(xx0)f(x)f(x0)时，称该函数不连续或不连续在x0 处。

如果x0是函数f(x)的不连续点，但左极限和右极限同时存在，则x0称为函数f(x)的第一类不连续点（左极限和右极限相等，可称为不连续点，左右界限不相等）。称为跳跃不连续性）。任何不是第一类不连续点的不连续点称为第二类不连续点（无限不连续点和振荡不连续点）。

定理：有限个在某一点连续的函数的和、积、商（分母不为0）是在该点连续的函数。

定理：若函数f(x)在区间Ix上单调连续增减，则其反函数x=f(y)在对应区间Iy={y|y=f(x)上，xIx单调递增或递减且连续。反三角函数在其定义域内是连续的。

定理（最大最小定理） 闭区间上的连续函数必须在区间上有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间内不连续，则函数不一定在该区间内具有最大值和最小值。

定理（有界定理） 闭区间上的连续函数必须在区间上有界，即m f (x) M。 定理（零点定理） 设函数f (x) 在闭区间[ a, b ],且f(a)和f(b)具有不同的符号(即f(a)f(b)0)，则函数f(x)至少有一个零点开区间(a, b) ，即至少有一个点(a

由此推论，闭区间上的连续函数必须取最大值M和最小值m之间的任意值。

第2 章导数和微分

1、衍生品存在的充分必要条件。函数f(x)在x0点可微的充要条件是左极限lim(h-0)[f(x0+h)-f(x0)在x0点]/h和右极限lim(h+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h 均存在且相等，即左导数f-(x0) 和右导数f+(x0) 存在平等的。

2. 函数f(x)在点x0可微=函数在该点连续；函数f(x) 在点x0 在该点可微。也就是说，函数在某一点的连续性是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

3、原函数可以求导，也可以求出反函数，反函数的导数就是原函数导数的倒数。

4. 函数f(x) 在点x0 可微=函数在该点可微；函数f(x) 在点x0 可微的充分必要条件是函数在该点可微。

第三章中值定理及导数的应用

1.定理（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)上可微，并且函数f(x)在闭区间[a,b]上连续可微，且函数f(x)在闭区间[a,b]上可微区间相等，即f(a )=f(b)，则开区间(a, b) 内至少有一个点xi(a)

2.定理（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，则在开区间(a,b)上有至少有一点(a

3.定理（柯西中值定理）如果函数f(x)和F(x)在闭区间[a,b]上连续，则它们在开区间(a,b)上可微，且F'( x) 中( a, b) 中的每个点都不为零，则开区间(a, b) 中至少有一个点xi ，因此方程[f(b)-f(a)]/[F(b) -F(a)]=f'()/F'()成立。

4、洛皮达定律的应用条件只能以0/0、/、0、-、00、1、 0等未定义形式使用。

5. 如何判断函数的单调性假设函数f(x)在闭区间[a, b]内连续，在开区间(a, b)内可微，则： (1) 若在(a, b) f'(x)0，则函数f(x)在[a, b]上单调递增； (2) 如果f'(x)0 在(a, b) 中，则函数f(x) 在[a, b] , b] 上单调递增。

如果函数在定义的区间上连续，并且除了有限数量的导数不存在的点之外，导数存在且连续，则只需使用方程f'(x)=0 的根和以下点： f'(x) 不存在划分函数f ( x) 的定义区间，可以保证f'(x) 在每个部分区间内保持固定的符号，因此函数f(x) 在每个部分区间内是单调的。

6. 函数的极值。如果函数f(x)定义在区间(a,b)中，则x0是(a,b)中的点。如果点x0 存在偏心邻域，对于此中心邻域内的任意点x，f(x)f(x0) 为真，称f(x0) 为函数的最小值f(x)。

当函数获得极值时，曲线上的切线是水平的，但当曲线上有水平曲线时，函数不一定获得极值，即导函数的极值点必须为其驻点（导数为0）。点），但函数的平稳点不一定是极值点。

定理（函数求极值的必要条件）假设函数f(x)在x0处可微，并在x0处求极值，则函数在x0处的导数为零，即f'(x0 )=0。定理（函数求极值的第一个充分条件）假设函数f(x)在x0的邻域内可微，且f'(x0)=0，则： (1) 若x取相邻值在x0 的左侧，f'(x) 始终为正；当x到达x0右边相邻的值时，f'(x)始终为负数，则函数f(x)在x0处获得最大值； (2) 如果当x 取x0 左边相邻的值时，f'(x) 总是负数；当x取x0右侧相邻的值时，f'(x)始终为正，则函数f(x)在x0值处取得最小值； (3) 如果当x取x0左右两边相邻的值时f'(x)总是正值或者总是负值，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理（函数取得极值的第二个充分条件）假设函数f(x)在x0处有二阶导数且f'(x0)=0，f''(x0)0则：( 1）当f''(x0)0时，函数f(x)在x0处获得最大值； (2) 当f''(x0)0时，函数f(x)在x0处取得最小值；驻点可能是极值点，如果不是驻点也可能是极值点。

7.函数的凹凸性及其确定。假设f(x) 在区间Ix 上连续。如果对于任意两点x1和x2，总有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1) ]/2，则称f(x)在区间Ix是凹的；如果总是存在f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，则称f(x)图在区间Ix上是凸的。

定理假设函数f(x) 在闭区间[a, b] 上连续，并且在开区间(a, b) 上具有一阶和二阶导数，则(1) if f'' in (a , b) (x)0，则f(x)在闭区间[a, b]上的图是凹的； (2) 若f''(x)0 在(a, b) 中，则f(x) 在闭区间[a, b] 上的图是凸的。

确定曲线拐点（凹凸分界点）的步骤（1）求f''（x）； (2) 设f''(x)=0，并求解该方程在区间(a,b)内的实根； (3) 对于(2)中求解的每个实根x0，检查x0左右两侧f''(x)的相邻符号。如果f''(x)在x0左右两侧符号分别保持不变，则当两侧符号相反时，点(x0,f(x0))为拐点。当两边符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

制作函数图时，如果函数存在不连续点或导数不存在的点，也应将这些点作为点。

第4 章不定积分

1. 原函数的存在性定理定理如果函数f(x) 在区间I 上连续，则在区间I 上存在可微函数F(x)，因此对于任意xI，F'(x )=f(x);简单地说，连续函数必须有原函数。

分部积分如果被积函数是幂函数与正弦和余弦的乘积或者幂函数与指数函数的乘积，则可以考虑采用分部积分法，并假设幂函数和指数函数为u，则您可以使用第一个分部积分方法将幂函数降低一。如果被积函数是幂函数和对数函数或者幂函数和反三角函数的乘积，则对数函数和反三角函数可以设置为u。

2. 对于初等函数，其原函数一定存在于其定义区间内，但原函数不一定是初等函数。

第5章定积分

1、定积分求解的典型问题（1）曲线梯形的面积（2）变速直线运动的距离

2.函数可积的充分条件定理。假设f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上可积，即连续=可积。

定理假设f(x) 在区间[a, b] 上有界，并且只有有限个不连续点，则f(x) 在区间[a, b] 上可积。

3. 定积分的一些重要性质： 如果在区间[a, b]上f(x)0，则abf(x)dx0。推论：如果区间[a, b] (x) 上的f(x)g，则abf(x)dxabg(x)dx。推论|abf(x)dx|ab|f(x)|dx。性质设M和m分别为函数f(x)区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)abf(x)dxM(b-a)。该属性说明了积分区间上被积函数的最大值和最小值。可以估计积分值的大致范围。

性质（定积分中值定理） 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则积分区间[a, b]上至少有一个点xi，则有以下公式成立： abf(x) dx=f(xi)(b-a)。

4.关于广义积分，让函数f(x)除以区间[a,b]上的点c(a)

第6章定积分的应用

求平面图形的面积（曲线围成的面积）

直角坐标系下（带参数或不带参数）

极坐标系中（r,,x=rcos,y=rsin）（扇形面积公式S=R2/2）

旋转体的体积（由连续曲线、直线和坐标轴围成的面积绕坐标轴旋转）（体积V=ab[f(x)]2dx，其中f(x)指的是方程曲线）

平行横截面积是已知的三维体积（V=abA(x)dx，其中A(x)是横截面积）

功、水压、重力

函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*abf(x)dx）

第7章多元函数的微分法及其应用

1.多元函数极限存在的条件。极限的存在意味着当P(x,y)以任何方式逼近P0(x0,y0)时，函数无限接近A。如果P(x,y)在一定范围内逼近P0(x0,y0)特殊的方式，例如，当沿着确定的直线或曲线逼近P0(x0,y0)时，即使函数无限接近某个值，我们也不能断定函数存在极限。反之，如果当P(x,y)以不同方式逼近P0(x0,y0)时函数趋向于不同的值，那么可以得出这个函数的极限不存在的结论。例如函数：f(x,y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^20

2.多元函数的连续性定义假设函数f(x,y)定义在开区域(或闭区域)D内，P0(x0,y0)为D的内点或边界点，且P0D，若lim (xx0, yy0)f(x,y)=f(x0,y0)，则称f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

性质（最大值和最小值定理）有界闭区域D 上的多元连续函数必须在D 上具有最大值和最小值。

性质（中值定理）有界闭区域D上的多元连续函数，如果它在D上获得两个不同的函数值，那么它在D上获得这两个值之间的任意值至少一次。

3.多元函数的连续性和可微性。如果一变量函数在某一点有导数，则该函数在该点必定连续。然而，对于多元函数，即使每个偏导数都存在于某一点，也不能保证该函数将在该点。连续的。这是因为各偏导数的存在性只能保证当点P沿平行于坐标轴的方向逼近P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P以任何方式接近P0。函数值f(P)趋于f(P0)。

4. 多元函数可微的必要条件。一变量函数在某一点的导数的存在是微分存在的充要条件。但多元函数偏导数的存在只是全微分存在的必要条件，而非充分条件，即可微=可偏导。

5. 多元函数可微的充分条件定理（充分条件） 如果函数z=f(x, y) 的偏导数存在且在点(x, y) 处连续，则函数在该点可微观点。

6、多元函数极值存在的充要条件定理（必要条件）。假设函数z=f(x, y) 在点(x0, y0) 处有偏导数，在点(x0, y0) 处有极值。那么此时它的偏导数必定为零。

定理（充分条件） 假设函数z=f(x, y) 在点(x0, y0) 的某个邻域内连续且具有一阶和二阶连续偏导数，且fx(x0, y0)=0, fy(x0 , y0)=0,令fxx(x0, y0)=0=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C, 则f(x, y)为在点(x0,y0)处获得极值的条件如下： (1)AC-B20时有极值，A0时有最大值，A0时有最小值； (2)AC-B20时无极值； (3)AC-B2=0可以存在也可以不存在。

7、多元函数极值存在性的解（1）求解方程组fx(x,y)=0、fy(x,y)=0的所有实数解，即可找到所有驻点。

(2) 对于每个驻点(x0,y0)，求二阶偏导数的值A、B、C。 (3)确定AC-B2的符号，根据充分条件确定f(x0，y0)是最大值还是最小值。

注意：在考虑函数极值时，除了考虑函数的驻点外，如果存在不存在偏导数的点，也应考虑这些点。

第8章双倍积分

1、二重积分的一些应用：弯曲圆柱体体积表面积的面积（A=[1+f2x(x,y)+f2y(x,y)]d）

平面片的质量和平面片的重心坐标（x=1/Axd，y=1/Ayd；其中A=d为平面片的面积封闭区域D.

平板的转动惯量(Ix=y2(x, y)d, Iy=x2(x, y)d；其中(x, y) 是点(x, y) 处的密度。

平面片对粒子的引力(FxFyFz)

2、二重积分存在的条件当f(x,y)在闭区域D上连续时，极限存在，因此函数f(x,y)在D上的二重积分必然存在。

3. 二重积分的一些重要性质： 若D 上的f(x, y) (x, y)，则有不等式f (x, y) dxdy (x, y) dxdy ，特别是因为-|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|还有不等式|f(x,y)dxdy||f( x, y)|dxdy。性质假设M和m分别是闭区域D上f(x,y)的最大值和最小值，是D的面积，则mf(x,y)d M。

性质（二重积分中值定理）假设函数f(x,y)在闭区域D上连续，为D的面积。那么D 上至少有一个点(xi, ) 使得以下公式成立： f(x,y)d=f(xi,)*4。直角坐标系和极坐标系之间二重积分中标量的转换。要将二重积分从直角坐标系转换到极坐标系，只需改变被积函数中的x和y

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