高等数学中值定理与导数的应用(导数 中值定理)

考研数学是考研最重要的科目。这就需要大家付出更多的努力去学习。在复习和备考高级数学考试时，一定要在定理的定义上下功夫。接下来国考网小编就为大家带来2016年高等数学考研中值定理及导数应用必记定理。希望对您有所帮助。

1.罗尔定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可微，且区间端点处的函数值相等，即f( a)=f(b)，则开区间(a,b)中至少有一个点xi(a)

2.拉格朗日中值定理

如果函数f(x) 在闭区间[a, b] 上连续且在开区间(a, b) 上可微，则开区间(a, b) 中至少有一个点xi(a

3.柯西中值定理

如果函数f(x) 和F(x) 在闭区间[a, b] 上连续，则它们在开区间(a, b) 上可微，并且F'(x) 在(a , b) 并非处处为零，则开区间(a, b) 内至少存在一个点xi，因此方程[f(b)-f(a)]/[F(b)-F( a)]=f '()/F'()成立。

4. 洛皮达定律

应用条件只能使用0/0、/、0、-、00、1、0等未定义形式。

5. 如何判断函数的单调性

假设函数f(x) 在闭区间[a, b] 中连续，在开区间(a, b) 中可微，则： (1) 如果f'(x)0 在(a, b) 中，那么函数f(x) 在[a, b] 上单调递增； (2) 如果f'(x) 在(a, b) 内

如果函数在定义的区间上连续，并且除了有限数量的导数不存在的点之外，导数存在且连续，则只需使用方程f'(x)=0 的根和以下点： f'(x) 不存在划分函数f ( x) 的定义区间，可以保证f'(x) 在每个部分区间内保持固定的符号，因此函数f(x) 在每个部分区间内是单调的。

6.函数的极值

如果函数f(x)定义在区间(a,b)内，x0是(a,b)中的点，并且如果点x0存在偏心邻域，对于这个偏心邻域x中的任意点， f(x)f(x0) 都为true，则称f(x0) 是函数f(x) 的最小值。

当函数获得极值时，曲线上的切线是水平的，但当曲线上有水平曲线时，函数不一定获得极值，即导函数的极值点必须为其驻点（导数为0）。点），但函数的平稳点不一定是极值点。

定理（函数求极值的必要条件）假设函数f(x)在x0处可微，并在x0处求极值，则函数在x0处的导数为零，即f'(x0 )=0。定理（函数求极值的第一个充分条件）假设函数f(x)在x0的邻域内可微，且f'(x0)=0，则： (1) 若x取相邻值在x0 的左侧，f'(x) 始终为正；当x到达x0右边相邻的值时，f'(x)始终为负数，则函数f(x)在x0处获得最大值； (2) 如果当x 取x0 左边相邻的值时，f'(x) 总是负数；当x取x0右侧相邻的值时，f'(x)始终为正，则函数f(x)在x0值处取得最小值； (3) 如果当x取x0左右两边相邻的值时f'(x)总是正值或者总是负值，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理（函数取得极值的第二个充分条件）假设函数f(x)在x0处有二阶导数且f'(x0)=0，f''(x0)0则：( 1）当f''(x0)0时，函数f(x)在x0处取得最小值；驻点可能是极值点，如果不是驻点也可能是极值点。

7.函数的凹凸性及其确定

假设f(x) 在区间Ix 上连续。如果对于任意两点x1和x2总有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，则称f(x)图在区间上是凸的九

定理假设函数f(x) 在闭区间[a, b] 上连续，并且在开区间(a, b) 上具有一阶和二阶导数，则(1) if f'' in (a , b) (x)0，则f(x)在闭区间[a, b]上的图是凹的； (2) 若f''(x) 在(a, b) 中

确定曲线拐点（凹凸分界点）的步骤为（1）求f''（x）； (2)设f''(x)=0，求解该方程在区间(a,b)内的实根；(3)对于(2)中求解的每个实根x0，检查f的相邻符号''(x) 位于x0 的左侧和右侧。如果f''(x)在x0左右两侧符号分别保持不变，则当两侧符号相反时，点(x0,f(x0))为拐点。当两边符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

制作函数图时，如果函数存在不连续点或导数不存在的点，也应将这些点作为点。

2016考研高等数学中值定理的记忆定理和导数的应用已经给大家带来了。希望我们学以致用，更好地掌握这些知识点，为考研取得好成绩。

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