高数 方程(考研方程根的个数)

纵观历年研究生数学考试大纲和试卷，总体来说变化不大。每年考试的范围和知识点基本相同或相似，考试题型变化也不是很大。一些重要的问题类型每年或经常进行测试。如果考生能够充分掌握这些重要题型的解题思路、方法，并能够熟练地回答这些题型，对于顺利通过研究生数学考试有很大帮助。为了帮助考生学习和提高数学重要题型解答能力，考研导师对历届考研中的重要题型进行了深入剖析，分析提炼出各种重要题型及方法，供考生参考。参考。下面主要分析高等数学中的重要题型和解题方法，比如方程根的个数等。

题型：方程根数（1）

方程的根=0是函数的零点。与方程根有关的问题一般可以利用相关函数理论来分析和解决。

主要分析和解决工具包括：

1）函数零点定理：如果函数在、 和上连续，则至少存在一个点使得（称为函数的零点）。

2) 函数单调性：如果on 上的函数是连续且单调的（单调递增或单调递减），则： 1) 当时，on 上存在唯一的零点； 2) 当时，无零点。

3) 罗尔中值定理：如果函数在上连续，在和上可微，则至少有一个点使得。

一般解决步骤：

1）首先检查是否有明显的实根；

2）引入相应的函数，编写定义域，确定端点函数值和特殊点函数值的正负值；

3）求导数，求驻点和单调区间，并讨论每个单调区间上的实根个数。

典型例子

例1.求方程不同实根的个数，其中k为参数（2011年考研数学一第17题）

分析：显然=0是实根。让， 那么，若，单调递减，则只有一个零点，即原方程只有一个实根x=0；

1) 若、 在、 上单调递减，则只有一个零点，原方程只有一个实根x=0；

2) 如果， 当， 单调增加， 则；当， 单调递减时；由此可知： 每个区间上都有一个零点，即原方程在这三个区间上都有一个实根。

综上所述：当时，方程只有一个实根；当时，方程有3 个不同的实根。

例2.假设有一个方程，其中是正整数，证明这个方程有唯一的正实根，并证明当时，级数收敛（2004年考研数学1题18）

分析：假设，则，根据零点定理，(0,1)上至少有一个零点。然而，它在(0, +) 上单调增加。因此，(0,+)上只有一个零点，且0 1，由比较检验和收敛方法可知收敛。

注意：n 次方程有n 个根，因此该方程可能有许多负实根（也可能有复根）。

以上是考研数学《高等数学》中方程根数等重要题型及解题方法，供考生参考。今后，老师们还将继续向考生介绍其他重要题型和解题方法。希望各位考生予以关注。最后，预祝各位考生在2015年考研中取得好成绩。

题型：方程根数（2）

方程的根=0是函数的零点。与方程根有关的问题一般可以利用相关函数理论来分析和解决。这类问题的主要分析和求解工具有：函数零点定理、函数单调性、罗尔中值定理。关于这些理论，我们已经在之前的文章中进行了解释。下面我们主要看一些典型的例子。

典型例子

例1.（2012年考研数学二第21题）

（一）证明方程（是整数）在区间内只有一个实根；

（二）将（一）中的实根表示为，证明存在，并求此极限

分析： () 令、则、 连续。根据零点定理，区间中有实根，且， 在(0, +) 内单调递增，因此区间中只有一个实根。

(二) 由，可得， 且在(0,+)范围内单调递增，因此，即单调递减，且，因此存在。假设，那么我们得到，因为，所以，取上面公式的极限，我们得到，

例2.（2005年考研数学三第7题）

当取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点（ ）

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

分析：函数的定义域为(-,+)，令，我们得到，因为，所以是最大值， 是最小值。从，我们知道，

当或时，正好有两个不同的零点，解为或，应选择（B）

例3.（2000年考研数学一题9）假设函数在[0,]上连续，且， 并验证：(0,)中至少有两个不同的点，所以那。

证明： 分析： 由条件和广义中值定理，易知有。问题的关键是如何利用第二个条件。为此，令、 由广义中值定理，可得存在，从而、分别利用罗尔定理，可得存在，故，即。

例4. 假设，则的不同实根的个数为( )

分析： 5.由，根据罗尔定理，区间(1,2),(2,3),(3,4)中存在一个实根，而x=3是的二重根，所以x=3是单根，同理，x=4是双根。它是一个6次方程，共有6个实根（x=4是双精度数），不同实根的个数为5。

以上是考研数学《高等数学》中方程根数等重要题型及解题方法，供考生参考。今后，老师们还将继续向考生介绍其他重要题型和解题方法。希望各位考生予以关注。最后祝全体同学2015年考研取得好成绩。

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