高中数学数列递推求通项(数列递推法求通项)

下面的A(N)是序列的第N项

1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求数列通项的公式

解：从题意来看，A(N)+1=2[A(N-1)+1]

即A(N)+1是以2为第一项、2为公比的等比数列。

因此A(N)+1=2^N

序列的通式为A(N)=2^N-1

2. 通用算法

已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P 《》 1，求数列通项的公式

解：设A(N)+X=P*[A(N-1)+X]

求解得到X=Q/(P-1)

因此，A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)为第一项、P为公比的等比数列。

由此我们可以计算出A(N)的通式

3. 给定A1和A2，A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求数列通项的公式。

解题思路：假设A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]

代入原公式，可得到两组解。分别对于两组X和Y

通式A(N)+X*A(N-1)

然后求解两个变量的线性方程得到A(N)

注意：可能只有一组解决方案，但还有其他解决方案。

4.现在用上面的思路来解决一个著名的问题：

N个球和N个盒子分别从1到N编号。 N 个球分别放入一个盒子中。求没有球与盒子的数字相同的方式总数。

解：设A(N)为球数为N时满足条件的放置方式的总数（以下简称不成对放置方式），

容易知道A1=0，A2=1

当N>2时，有N-1种方式放入1号球。假设将1号球放入1号盒子中。

剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如果X号球恰好放在1号盒子里，

该问题相当于N-2 个球的不成对放置。总安置数为：A(N-2)

剩下的N-1 个球和N-1 个盒子中，如果1 号球

那么X号球可视为1号球。该问题相当于N-1个球的不成对放置方法。

总共的放置方式为：A(N-1)

因此，A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]

上式可转化为：A(N)-NA(N-1)

=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]

根据等比数列：A(N)-NA(N-1)=(-1)^N

将上式除以N！要得到：

A(N) A(N-1) (-1)^N

-------=---------------- + ------------------

不！ (N-1)！不！

对待A(N)/N！作为一个新序列，并将(-1)^N/N!作为一个序列

那么A(N)就等于序列(-1)^N/N！第二项到第N项的和乘以N

此外，还可以得出这样的结论：

放置N 个球以使K 个球与盒子相匹配的方式总数为：C(N, K)*A(N-K)

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