2015考研高数真题(2015考研数学题)

1. 功能极限是连续的

正确理解函数的概念，理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数和隐函数的概念。

理解极限的概念、函数的左极限、右极限的概念，以及极限的存在性与左极限、右极限的关系。掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷小和无穷小阶的概念，并能够用等价的无穷小求极限。

理解函数连续性的概念，能够识别函数不连续性的类型。理解初等函数的连续性和连续函数在闭区间上的性质（最大值、最小值和中间值定理），并能够应用这些性质。重点是序列极限和函数极限的概念，两个重要的极限：limsinx/x=1、lim(1+1/x)=e，连续函数的概念以及闭区间上连续函数的性质。困难在于分段函数、复合函数、极限的概念以及用于通过定义证明极限的方程。

2. 单变量函数的微分计算

理解导数和微分的概念，导数的几何意义，能够求平面曲线的正切方程，理解函数可导性和连续性的关系。

掌握导数的四种运算规则和一阶微分的形式不变性。理解高阶导数的概念，能够求简单函数的n阶导数和分段函数的一阶、二阶导数。能够求出隐函数和参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数以及反函数的导数。

理解并能够使用罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，理解并能够使用柯西中值定理。

了解函数极值的概念，掌握函数最大值、最小值的方法和简单应用，能够利用导数判断函数的凹性和拐点，能够求横纵坐标和函数图的斜渐近线。

理解曲率和曲率半径的概念，能够计算曲率、曲率半径和两条曲线的交角。

掌握利用罗贝塔法则求未定式极限的方法，重点学习导数和微分的概念，平面曲线正切函数和正规方程函数的可微性和连续性的关系，一阶微分的不变性形式，分段函数的导数。罗贝塔规则函数的极值、最大值、最小值的概念及其求法，函数凹凸性的判定及求拐点的方法。难点在于复合函数求导规则的隐函数以及参数方程确定的函数一阶、二阶导数的计算。

3. 单变量函数积分

理解原函数、不定积分、定积分的概念。

掌握不定积分的基本公式、不定积分和定积分的性质以及定积分的中值定理，掌握代入积分法和分部积分法。

能求有理函数、三角函数和简单无理函数的积分。

理解变上限积分定义的函数，能够求其导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

理解广义积分的概念，能够计算广义积分。

掌握利用定积分计算一些几何物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和边面积、物体的面积）平行截面是已知的三维体积，受变力、重力、压力等作用）。 ）重点介绍原函数和不定积分的概念和性质、积分的基本公式和积分的代入法和分部积分法，以及定积分的性质、计算和应用。难点在于第二种元素代换积分法，即分部积分法。积分上限函数及其导数、定积分的元法及定积分的应用。

4.向量代数和空间解析几何

理解向量的概念及其表示形式。

掌握向量的运算（线性运算、定量乘积、向量乘积、混合乘积），了解两个向量垂直和平行的条件；掌握单位向量、方向数和方向余弦、向量的坐标表达式，以及利用坐标表达式进行向量运算的方法。

掌握平面方程和直线方程及其方法，并能利用平面与直线的关系解决相关问题。

理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程和图形，能够求出以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程和母线平行于坐标轴的柱面方程。

理解空间曲线的参数方程和一般方程；理解空间曲线在坐标平面上的投影，并能够找到它的方程。

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