考研数学γ函数(考研函数真题)

考生经常拿着某本书，问类似的问题，比如不连续函数是否有原函数。

我的答案是“为什么可积函数的原函数必须是连续函数？”这是一个错误的命题。我的回答是，首先，这个问题的前提是错误的：“可积函数不一定有原函数”。因此，不可能得出“可积函数的原函数一定是连续函数”的结论。这是一些考研辅导专家的严重误导。

函数“可积”这一事实并不是拥有“原始函数”的充分条件。只有函数“连续”才是具有“原函数”的充分条件（不是必要条件）。因此，说一个函数“连续”并不是拥有“原函数”的必要条件，因为确实可以给出“不连续函数也可能有原函数”的经典反例（见注释），但这已经有点超出教学大纲了。

原函数的概念和导函数的概念是“互逆”和“伴随概念”。根据达布定理，“可微函数的导函数只能有振荡不连续点”的结论可以支持我的观点“可积函数不一定是本原函数”。

归根结底，由于可积函数可能存在第一类不连续点（可移不连续点或跳跃不连续点），因此必然不存在原函数。

“可积”的概念是指有限区间上的“定积分”。不存在“可积函数的不定积分”问题。一般考研教程都是关于“对于分段函数，每一段（不定）积分后都有一个常数，那么最终积分结果的常数如何确定呢？”这也是一个伪问题。

因为这取决于函数（整体）是否连续？

即使分段是连续的，如果整体是不连续的（实际上是在分段点处不连续），那么就无从谈及原函数和不定积分，更谈不上常数应该如何确定。

对于整体连续分段函数，存在“不定积分问题中常数的处理”问题。这个博客已经讨论过很多次了。请阅读我于2007 年7 月2 日写的“关于分段函数的不定积分”。

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