南通高三期末2021(高三南通2021)

对南通市高三期末第14题的思考

江苏省徐州市第一中学　张培强

1.问题与分析

题目 （2011届南通市高三期末第14题）已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 ．

已知：如图1，中，，，．

求：面积的最大值．

思路分析1：余弦定理

法1：设，则，在中，，在中，，由可得，，所以，则，故，易知当时，面积的最大值是2．

注：此法关注要解之三角形，全面了解的各元素，属常规想法．避免求边，优化此解法，可考虑在中，有，而，同样可解．

法2：由中线长定理可知，，所以，而，当且仅当时，取等．

注：中线长定理是由余弦定理推出，因此借用中线长定理使得过程中没有涉及角，但实质上仍是余弦定理发挥作用．

思路分析2：三角函数

法3：设，则，由可得，，所以，考虑的几何意义（表示过点和的直线的斜率），易得面积的最大值是2．

注：此法恰与法1反其道而行之，将要求的焦点尽皆转化到角，利用三角函数的性质解决．

思路分析3：向量

法4：设为边上的高，由可得，，所以，，下类似法1可得．

注：向量的运算实际上将角的参与隐藏起来了．

思路分析4：解析几何

法5：以中点为原点，所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，设，则，即，整理得，，即有，所以，时取等．

注：此种建系方式关注中，恒有．

法6：以中点为原点，所在直线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，则，所以，而，当且仅当时，取等．

注：此种建系方式关注的特征（等腰）．

思路分析5：平面几何

法6：如图4，作于点，交于点，则为的重心，则有，所以，当时，取等．

注：中线作为三角形的特征线，自然和重心是相辅相成的．

2 检测的结果

本题调研的对象是我校（江苏省四星级高中）高三学生．此题给学生统一做过3遍，下面给出第3次的结果统计：

需要指出的是，表格中的“”表示本题的易错解，即认为当为正三角形时面积达到最大（学生看来所谓的经验）．这也说明试题的优质，不因特殊情况而减少思维量．

3.试题的源头

将之与2008年江苏省高考第13题比较：

满足条件，的三角形的面积的最大值 ．（答案：）

条件上，都存在这样一个三角形，一边确定、另两边长成比例．解决起来都可用如法5的解析法．这也显示两题有着共同的背景：阿波罗尼斯圆．

该调研题将其前生“补形”成等腰三角形，带来题意更加简洁的同时，也掩埋了边之间的关系条件．咋一看，原题遁形，唯有细品，方知内涵所在．此，实为改编题的上乘之作．

而实际上，建立在“阿波罗尼斯圆”背景上的考题从未间断过．

考题1：（1999年全国卷）设，为两定点，动点到点的距离与到点的距离为定比1：2，则点的轨迹图形所围得的面积是 （ ）

考题2：（2003年北京卷）设，为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹方程及图形．

考题3：（2005年江苏卷）圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、的切线、（、分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程．

考题:4：（2006年四川卷）已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ）

3 讲评的建议

1．注意思维的发散与统一

一道解三角形和最值结合的问题，竟有五种分析问题的思路和具体的六种解法（当然问题解决的方式还有，但大同小异）．教学中宜加强思维的发散训练，多引导学生从不同的角度去审视问题，或层峦叠嶂，或豁然开朗，或思维乍现，或殊途同归，这是有益的尝试．而另一方面，还需将发散开去的思维统一起来，即优化问题的解决．如，法1、2、4都是将所求化归到“边”，和法3的化“角”对比起来，形成解三角形的两种基本思路：化边和化角；而思路4则从代数的角度来分析问题．

2．加强变式的训练与提炼

变式，作为问题暴露后的有益补充，可有力地达到巩固深化的目的．变式训练的设置与否成为了衡量当今课堂有效性的一个重要方面．本题可作如下变式：

变式1：已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 ．

此变式着重对问题的深度探索，对其一般化的结论探求，似原题又胜原题，抛弃了具体的数值，有利于学生对问题本质的认识．

变式2：已知中，，上的点满足，且，则面积的最大值是 ．

此变式针对解法6的平几方法，尽量避免这种简捷的做法，能更好地训练学生解决一般问题的能力．

变式3：在中，，是角的平分线，且．若的面积为，问为何值时，最短？

此变式仍旧是建立在原有的背景上，将之和其它知识点综合，改头换面表象下的本质依然，利于培养学生分析问题、解决问题的能力．

作者简介：张培强，男，1984年生，江苏沛县人，2006年毕业于南京师范大学（本科），就职于江苏省徐州市第一中学，主要从事数学教育与中学教学研究．2009年至今发表国家级论文7篇，其中1篇被中国人民大学书报资料中心全文转载．

个人博客：http://blog.fhedu.cn/Zone.asp?Zone_ID=1037

通讯地址：江苏省徐州市汉城路1号徐州一中九里分校（221140）

  相关文章:

   三、力(常见的力、力的合成与分解)(1)常见的力1.重力G=mg(方向竖直向下，g=9.8m/s2≈10m/s2，作用点在重心，适用于地球表面附近)2.胡克定律F=kx{方向沿恢复形变方向，k：劲度系数(N/m)，x：形变量(m)｝3.滑动摩擦力F=μFN{与物体相对运动方向相反，μ：摩擦因数，FN：正压力(N)｝4.静摩擦力0≤f静≤fm(与物体相对

   金属及其化合物一、金属活动性Na＞Mg＞Al＞Fe。二、金属一般比较活泼，容易与O2反应而生成氧化物，可以与酸溶液反应而生成H2，特别活泼的如Na等可以与H2O发生反应置换出H2，特殊金属如Al可以与碱溶

   6月10日，清华大学2018年自主招生考试全面启动，2018年清华大学自主招生、领军计划依然在全国设置多个考点，考生可就近选择。自主招生测试为初试和复试。一、笔试时间初试时间为6月10日上午9:00-12:00，共3个小时。二、笔试模式初试采用笔试形式，理科类：数学、物理、化学；文科类：数学、语文、历史。清华理科笔试都是选择，共75题，数学35道题，

   1.下列划线字的读音全部相同的一项是（）A．行旅行头行将就木行贿受贿B．给予给水自给自足不给面子C．测量掂量丈量土地量入为出D．应该应届得心应手理应如此2.下列各组词语中，字形全都正确的一组是（）A．脉搏扶直贫困晶莹寥若辰星B．焕发一幅对联关键性格不合C．提纲情有可原厮打连年歉收D．幅射绿草如茵松弛旁征博引3.依次填

   甲烷的氧化反应最基本的就是燃烧，高考网为大家整理了《2016高考化学知识点：甲烷的氧化反应》，供大家参考，更多关于甲烷的氧化反应知识点详解请关注高考网。2016高考化学知识点：甲烷的氧化反应甲烷氧化反应最基本的就是燃烧：甲烷完全燃烧：CH4+2O2=CO2+2H2O甲烷不完全燃烧：2CH4+3O2=2CO+4H2O甲烷