高中数学破题技法之一是什么(高中数学破题36大招)

●计名释义

比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球.因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.

数学命题是二维的.一是知识内容，二是思想方法.基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想.数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

●典例示范

［题1］（2006年赣卷第5题）

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有

A.f（0）＋f（2）<2f（1）B.f（0）＋f（2）≤2f（1）

C.f（0）＋f（2）≥2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）

［分析］用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想.这点在已条件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得极为显目.

其一，对f＇(x)有大于、等于和小于0三种情况；

其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.

因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

［解一］（i）若f＇(x)≡0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.

（ii）若f＇(x)不恒为0时.则f＇(x)≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；f＇(x)≤0时x≤1.即f（x）在上为减函数.此时，选项C、D符合条件.

综合（i），（ii），本题的正确答案为C.

［插语］考场上多见的错误是选D.忽略了f＇(x)≡0的可能.以为（x-1）f＇(x)≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇(x)≡0.

［再析］本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合.而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.

［解二］（i）若f＇(x)=0，可设f（x）=1.选项Ｂ、Ｃ符合条件.

（ii）f＇(x)≠0.可设f(x)=（x-1）2又f＇(x)=2（x-1）.

满足(x-1)f＇(x)=2(x-1)2≥0，而对f(x)=(x-1)2.有f（0）=f（2）=1，f（1）=0

选项C，D符合条件.综合（i），（ii）答案为C.

［插语］在这类f(x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2.如果在同类中找到了(x-1)4，(x-1)，自然要麻烦些.由此看到，特殊化就是简单化.

［再析］本题以函数（及导数）为载体.数学思想①——“函数方程（不等式）思想”.贯穿始终，如由f（x）=0找最值点x=0，由f（x）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.

由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.

［解三］（i）若f(0)=f(1)=f(2)，即选B，C，则常数f(x)=1符合条件.（下图水平直线）

（ii）若f(0)=f(2)<f(1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1)f（x）≥0

若f(0)=f(2)>f(1)对应选项C，D（右图下拱曲线）.则满足条件(x-1)f（x）≥0.

［探索］本题涉及的抽象函数f(x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1)f（x）≥0，并由此可以判定f(0)+f(2)≥f(1).自然，有这种性质的具体函

数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.

［变题］以下函数f(x)，具有性质(x-1)f（x）≥0从而有f(0)+f(2)≥2f(1)的函数是

A.f（x）=(x-1)3 B.f（x）=(x-1)1/2 C.f（x）=(x-1)5/3 D.f（x）=(x-1)2006/2005

［解析］对A，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；对B，f(0)无意义；

对C，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；

答案只能是D.对D，f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1.

［说明］以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数.如f（x）=(x-1)，其中m，n都是正整数，且n≥m.

［点评］解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

［插语］这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了.因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.

［点评］“西瓜开门”把运动学带进了考场解题.滚动能克服解题的思维定势.

解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”.总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.

●对应训练

1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的()

3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是()

A.b2≤acB.b2>acC.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0

●参考答案

1.【思考】利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选项D中无x>0的图像，均应否定；当x=y∈R+时，lg无意义，否定A,选C．

【点评】上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当x≠0且y>x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).

2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.

原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.

∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A．

3.解析一分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.

取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.

解析二由选择支,联想到二次函数的判别式.

令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,

f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.

【点评】在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:

4b<4a+c,①

2b<-a-c,②

①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.

用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.

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