整除的运用(整除问题常用方法)

在公务员考试数学运算题目当中，不时会碰到一些比较麻烦的分式，需要进行通分。此时本来就“头大”的考生，更加“晕菜”，很容易将分数计算错误。<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

通过研究这类公务员考题发现一个有趣的现象——往往看似比较复杂的分式，其实答案都能将分式化成简单的整数。

下面举几个例子来体会一下。

（1）2005年国家B类考题第44题：小红把平时节省下来的5分硬币先围成一个正三角形，恰好全都用完，后来又围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有5分硬币的总价值为（ ）

A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

这道题可以假设总硬币数为x，通过一系列分析，最终利用方程求解。

然而，如果发现这样的事实——既然小红能够将硬币摆成正三角形，那么他手中的硬币数就应该是3的倍数。

这里只有3块钱能做到这点。选C。

可能你还不信能如此简洁、快速的解题。再往下看！

（2）2006年广东考题第9题：甲的速度为<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />50m/min，乙的速度为40m/min，两人同向而行。丙的速度为35m/min，与甲、乙两人同时相向而行。丙碰见甲之后2分钟又遇到乙，则路的长度为（ ）

A.250m B.500m C.750m D.1275m

假设这段路长为x，根据题意，<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />

别着急解题！因为两个分式之差为整数，所以x既能被75整除，又能被85整除。A、B、C三个答案显然无法被85整除，只可能选D。

不会吧？有这么神奇？继续往下看！

（3）2005年北京社招考题第20题：红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王老师以每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。则队伍长（ ）米

A.630 B.750 C.900 D.1500

假设队伍长x米，根据题意，

现在可以停笔——x既能被90整除，又能被210整除，只有A答案符合，选它！

怎么样？没有忽悠你吧？

其实这里面是有数学上深层次的原因的。在数学上，凡是能化成分数形式的小数都是无限循环小数（除了以2和5作为因数的分母以外），而对于含有不同质因数的分母的分数来说，这些无限循环小数的“循环节”各不相同。要想让这些各不相同的“循环节”相加之后还能成为整数，是一件不可能的事情。那么两者相加或者相减要能成为整数，只有两者都为整数才有可能。

这就是这种“神奇”的方法的数学背景，它是严格成立的。

这种方法运用的还可以再深入一步。

（4）2007年国家考题第46题：某离校 2006 年度毕业学生 7650 名，比上年度增长 2 % . 其中本科毕业生比上年度减少 2 % . 而研究生毕业生数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有（ ）

A.3920人 B.4410人 C.4900人 D.5490人

假设今年高校本科毕业生有x人，则根据题意，

注意到人数必须是整数，所以7650－x必须能被110整除。这里面只有C答案4900能够做到这点。选出来C。

实际上，这道题的方程由于分母是49和11进行通分，因此如果采用通分变形，求解方程则会变得非常繁琐。

（5）2005年北京社招考题第18题：某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了5.5小时。则他步行了（ ）千米

A.15 B.20 C.25 D.30

假设这个人步行了x千米，依题意得，

放下笔来思考。题目所给的4个答案（D明显错误）使得该式前一个式子无论如何都是一个

整数，那么拖拉机运行的时间就应该是*.5小时，是个半整数，而且*.5的半整数只能是由于分母是2造成的。

该式子中的，分母上除了因数2以外，还有个9。如果9约分不完，那么这个式子将会出现无限循环小数，现无限循环小数，所以分子上肯定会出现9这个因数。只有60－15＝45这个数有因数9，选A。

这道题较为灵活的运用了整除的性质。其实有些题目如果不利用这个性质，根本解不出来。

（6）2007年国家考题第50题：小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的3/4。小强答对了 27 道题，他们两人都答对的题目占题目总数的2/3，那么两人都没有答对的题目共有（ ）

A.3道 B.4道 C.5道 D.6道

这道题的突破口就在于利用两人答对、答错的题目都是整数，确定出总试题数既能被3整除、又能被4整除，即，能被12整除。有了这个推论了，题目就容易许多。这道题最终答案是D。

需要特别注意的是，由于能够利用“整除”的题目，其数学背景是深层次的，因此隐蔽性比较高，有时还会用错。比如，

（7）2005年北京社招考题第17题：一架飞机所带燃料最多可飞行6小时，飞机去时顺风速度为1500千米/时，回来时逆风，速度为1200千米/时，这架飞机最多飞出（ ）千米就需要往回飞

A.2000 B.3000 C.4000 D.4500

假设飞出x千米，则飞机来回的总时间最多为6小时，可得方程：

，这时候发现“整除”性质失效了，因为四个选项都不能同时整除1500和1200。

原因在这里。1500和1200虽然都有3这个因数，但是它们通过通分之后，分子会出现9这个因数，因此把分母上的因数3给约去了，剩下了只有2、5两个因数，所以分数还是能化成整数的。这里就不能乱用“整除”了。

从上面看来，利用“整除”性质，快速选出答案是非常巧妙的一个方法，但是对这种方法需要有一个深层次的把握才能运用得当，这点需要诸位考生在平时练习的时候多想、多观察，体会这种方法的妙趣所在。

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