微积分基本定理证明详解(微积分学基本定理证明)

考研高等数学部分四大定理的证明在考研数学中非常重要。为了方便大家复习，今天给大家分享一下四大定理之一的微积分基本定理的证明，供大家参考。

微积分基本定理的证明

这部分包括两个定理：变极限积分推导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变极限积分推导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间内连续。结论可以形式化地理解为变上限积分函数的导数就是丢掉积分符号，用积分上限代替被积函数的自然值。多变的。注意，这个导数公式对于闭区间成立，并且闭区间上的导数必须区别对待：开区间上每个点对应的导数都是同一类型，而区间端点处的导数是单边的衍生物。两朵花盛开，两边各一朵。我们首先考虑变量上限积分函数在开区间上任意点x的导数。仍使用导数定义来考虑某一点的导数。至于如何简化导数定义的极限表达式，作者不能剥夺读者思考的权利。单边导数的考虑方式类似。

“牛顿-莱布尼茨公式是微分学和积分学之间的桥梁，是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分和积分是可逆运算，同时标志着微积分的完整体系理论的形成从此成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼兹公式在高等数学中的重要作用。大多数考生都能熟练使用这个公式来计算定积分。然而，熟悉这个公式的证明的考生并不多。

该公式与变极限积分推导定理的共同条件是函数f(x)在闭区间连续。公式的另一个条件是F(x)是闭区间内f(x)的本原函数。结论是f(x)在这个区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值之差。该公式的证明需要利用变极限积分推导定理。如果该式的条件成立，则不难判断变极限积分求导定理的条件成立，因此变极限积分求导定理的结论成立。

注意这个式子的另一个条件提到了原函数，那么我们就可以用原函数的语言来描述变极限积分求导定理的结论，即f(x)对应的变上限积分函数为f (x) 在闭区间上的另一个原语函数。根据原函数的概念，我们知道同一函数的两个原函数之间只有一个常数差，因此F(x)等于f(x)的变上限积分函数加上某个常数C.一切都准备好了，就写下来吧。结合公式右边的表达式和推导出来的方程变形，不难得出结论。

（实习编辑：陈晓波）

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