2000年数学四真题详解(2000年数学4)

[考试科目]

微积分、线性代数、概率论

结石

1.函数、极限、连续性

考试内容

函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，基本初等函数的性质及其图形，反函数、复合函数、隐函数和分段函数的性质，初等函数的序列极限和函数极限。函数的左、右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小数的基本性质和阶的比较，四种极限算术运算，两个重要的极限函数，连续性和不连续性的概念，连续性初等函数、闭区间连续函数的性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示。

2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3. 理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质和图形，理解初等函数的概念。

5. 能够建立简单应用问题的函数关系表达式。

6. 理解序列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念。

7 理解无穷小的概念及其基本性质。掌握无穷小阶的比较方法，理解无穷小的概念及其与无穷小的关系。

8.理解极限的性质和极限存在的两个准则（单调有界序列有极限和箍缩定理），掌握极限的四个算术规则，并能够应用两个重要的极限。

9.理解函数连续性的概念（包括左连续性和右连续性）。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性。了解闭区间连续函数的性质（有界性、最大和最小定理、中间值定理）及其简单应用。

2.一变量函数的微分计算

考试内容

导数的概念，函数可导性与连续性的关系，导数的四种算术运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数的导数，微分的概念和运算规则，罗尔定理以及拉格朗日中值定理及其应用、L'Hospital法则、函数的单调性、极值函数图的凹凸性、拐点和渐近线函数图、函数值的最大值和最小值

考试要求

1.理解导数的概念以及可微性和连续性的关系，理解导数的几何意义和经济意义（包括边际和弹性的概念）。

2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四种运算规则以及复变函数的求导规则；掌握反函数和隐函数的求导方法，理解对数求导

3. 理解高阶导数的概念，能够求较简单函数的二阶导数和n阶导数。

4、理解微分的概念、导数与微分的关系、一阶微分检验的不变性；掌握微分法。

5.了解罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件和结论，掌握这两个定理的简单应用。

6. 能够利用洛比达定律求极限。

7.掌握判断函数单调性的方法和简单应用，掌握求极值、最大值和最小值的方法（包括解决简单应用问题）。

8.掌握识别曲线凹度和拐点的方法，以及求曲线渐近线的方法。

9、掌握函数作图的基本步骤和方法，能够绘制一些简单函数的图形。

3. 单变量函数积分

考试内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和部分积分的积分方法，法定积分的概念和基本性质，积分的中值定理，变上限积分定义的函数及其导数Newton-Ley NewtOn-Deibniz公式、定积分、代换法积分和分部积分、广义积分的概念及其在计算定积分中的应用

考试要求

1、理解本原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式；掌握代入积分法和分部积分法计算不定积分。

2.了解定积分的概念和基本性质；掌握牛顿-莱布尼兹公式，以及代入积分法和定积分的积分法；能够求出变量上限积分的导数。

3、能够用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，能够用定积分解决一些简单的经济问题。

4.了解广义积分收敛和发散的概念，掌握广义积分计算的基本方法，了解广义积分收敛和发散的条件。

4.多元函数的微积分

考试内容

多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限和连续性、有界闭域上二元连续函数的性质（最大和最小定理）、偏导数的概念和计算多元的推导方法复合函数。隐函数求导方法、高阶偏导数、极值和条件极值、全微分多元函数的最大值和最小值。二重积分的概念和基本性质以及无界区域上简单二重积分的计算

考试要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的表示和几何意义。

2.理解二元函数的极限和连续性的直观意义。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，掌握求复合函数偏导数和全微分的方法；能够使用隐函数的求导规则。

4.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件函数，并能够求二元函数的极值。可以用拉格朗日乘子法求条件极值。能够求出简单多元函数的最大值和最优值，并解决一些简单的应用问题。

5.了解二重积分的概念和基本性质，能够计算较简单的二重积分（包括极坐标计算）；能够计算无界区域上的更简单的二重积分。

线性代数

1.行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质、行列式行（列）展开定理、克拉默法则

考试要求

1.理解N阶行列式的概念。

2.掌握行列式的性质，能够应用行列式的性质和行列式的行（列）展开定理来计算行列式。

3. 能够运用克莱姆法则求解线性方程组。

2. 矩阵

考试内容

矩阵的概念单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵、三角矩阵、对称矩阵矩阵的和与积矩阵的矩阵与积矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵的伴随矩阵矩阵的初等变换矩阵分块矩阵的初等阶及其运算矩阵

考试要求

1.理解矩阵的概念，了解几种特殊矩阵的定义和性质。

2、掌握矩阵的加法、乘法、乘法及其运算规则；掌握矩阵转置的性质；掌握方阵乘积行列式的性质。

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质。您可以使用伴随矩阵来求矩阵的逆矩阵。

4.理解矩阵初等变换和初等矩阵的概念；理解矩阵秩的概念，并能够使用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩。

5.理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算规则。

3.矢量

考试内容

向量的概念向量的和以及向量的乘积向量组的线性组合和线性表示线性相关和线性独立向量组的概念、性质和判别向量组的最大线性无关组向量组的排序

考试要求

1.理解向量的概念。掌握向量加法、乘法的运算规则。

2.人们理解向量的线性组合和线性表示、向量组的线性相关、线性元素等概念，掌握向量组的线性相关和线性独立的相关性质和判别方法。

3.理解向量群最大独立群的概念，掌握求向量群最大独立群的方法。

4.理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系，能够求出向量组的秩。

4. 线性方程组

考试内容

线性方程组的解判断线性方程组是否有解和特解齐次线性方程组的基本解系和通解非齐次线性方程组的解与方程组的解之间齐次线性方程组的相应系统（导数组） 具有关系的非齐次线性方程组的通解

考试要求

1.理解线性方程解的概念，掌握判断线性方程有解或无解的方法。

2.理解齐次线性方程组基本解系的概念，掌握齐次线性方程组的基本解系和一般解法。

3.掌握求非齐次线性方程组通解的方法，并能用非齐次线性方程组的特解和相应的基本解系来表达非齐次线性方程组的通解派生组。

5.矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念相似性矩阵的相似性对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量

考试要求

1.理解矩阵的特征值、特征向量等概念，掌握矩阵特征值的性质。掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2.理解矩阵相似度的概念，掌握相似矩阵的性质；理解矩阵为对角矩阵的充分必要条件，掌握将矩阵转化为相似对角矩阵的方法。

3.了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

概率论

1. 随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间事件的关系、事件的运行及其性质、事件的独立性、完全事件群概率的定义、概率的基本性质、经典概率、条件概率加法公式、乘法公式、总概率公式和贝叶斯（BAYES）公式，独立重复测试

考试要求

1.理解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系和运算。

2.理解概率和条件率的概念，掌握概率的基本性质，能够计算经典概率；掌握概率的加法和余数公式，以及总概率公式和贝叶斯公式。

3.理解事件独立性的概念，掌握利用事件独立性进行概率计算；理解独立重复实验的概念，掌握计算相关事件概率的方法。

2. 随机变量及其概率分布

考试内容

随机变量及其概率分布随机变量分布函数的概念和性质离散随机变量的概率分布连续随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布二维随机变量及其联合（概率）分布二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布二维连续随机变量的联合概率密度和边缘密度随机变量的独立性常见二维随机变量的联合分布随机变量函数的概率分布

考试要求

1.了解随机变量的概念及其概率分布；理解分布函数F(x)=P{Xx}的概念和性质；能够计算与随机变量相关的事件的概率。

2.了解离散随机变量及其概率分布的概念；掌握0-1分布、二项分布、超几何分布、Poison分布及其应用。

3.了解连续随机变量及其概率密度的概念；掌握概率密度与分布函数的关系；掌握均匀分布、指数分布及其应用

4.了解二维随机变量的概念，了解二维随机变量联合分布的概念和性质及其两种基本形式：离散联合概率分布和边缘分布、连续联合概率密度和边缘密度；能够利用二维概率分布求出相关事件的概率。

5.理解随机变量独立性的概念，掌握离散和连续随机变量独立的条件。

6.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的密度函数，理解参数的概率含义。

7.掌握根据自变量概率分布求较简单函数概率分布的基本方法。

3. 随机变量的数值特征

考试内容

随机变量的数学期望、方差、标准差及其基本性质随机变量函数的数学期望2. 随机变量的协方差及其性质2. 随机变量的相关系数及其性质

考试要求

1.了解随机变量数值特征的概念（期望、方差、标准差、协方差、相关系数），能够利用数值特征的基本性质计算具体分布的数值特征，掌握数值特征常用的发行版。

2. 能够根据随机变量的概率分布求出函数G(X)的数学期望Eg(X)。

4.中心极限定理

考试内容

泊松（POISSON）定理DE MOIVRE（拉普拉斯）定理、以正态分布为极限分布的二项式分布）列维-林德伯格（Levi-Lindberg）定理（独立同分布中心极限定理）

考试要求

1.掌握泊松定理的结论和应用条件，能够利用泊松分布近似计算二项式分布的概率。

2.了解Lemoivre-Laplace中心极限定理和Levy-Lindberg中心极限定理的结论和应用条件，并能够利用相关定理近似计算随机事件的概率。

【试卷结构】

(一)含量比例

微积分~50%

线性代数~25%

概率论约25%

(2)题型比例

填空题和多项选择题约30%

回答问题（包括证明问题）约70%

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