矩阵相似对角化的应用(矩阵的相似对角化的几何意义)

16考研的节奏越来越快。本文总结了矩阵对角化相关的知识、要点和解题技巧，为大家冲刺数学扫清障碍。

矩阵的类似对角化是考研的一个重要考点。这部分内容可以包括大问题和小问题。因此，学生必须学会如何判断一个矩阵是否可对角化。这部分的知识点总结如下：

?一般方阵的相似对角化理论

这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，判断给定矩阵是否可以相似对角化，知道矩阵相似对角化的计算问题，求可逆矩阵和对角矩阵。其实类似矩阵对角化之后还有一些应用，主要体现在计算矩阵行列式或者求矩阵的幂。这些应用在以往的考试题中有不同的表现。

1、判断方阵能否类似对角化的条件：

(1)充要条件：An类似对角化的充要条件为：An有n个线性无关的特征向量；

(2)另一种形式的充要条件：An类似对角化的充要条件为：An的k重特征值满足

(3) 充分条件：若An的每n个特征值不同，则An必须类似对角化；

(4) 充分条件：若An是实对称矩阵，则An同样可对角化。

【注】分析方阵能否类似对角化的关键是看线性无关特征向量的个数。在求特征向量之前，必须先求特征值。

2.求方阵的特征值：

(1)具体矩阵的特征值：

这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造两个0，然后利用行列式的展开定理进行计算；

(2) 抽象矩阵的特征值：

抽象矩阵的特征值往往是根据题中的条件构造特征值的定义来求的，这样提供了更大的灵活性。

?实对称矩阵的相似对角化理论

其本质仍然是矩阵的相似对角化问题。与一般方阵不同的是，得到的可逆矩阵是正交矩阵。这里，除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化之外，还要求大家掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。这些考点在考试中会经常用到。

这方面知识的问题比较灵活，可以直接问，即给定一个实数对称矩阵A，找到一个正交矩阵，使得该矩阵与对角矩阵正交相似；还可以利用矩阵A的特征值和特征向量来确定矩阵A中的参数或确定矩阵A；另外，由于实数对称矩阵的不同特征值的特征向量彼此正交，因此也可以从已知特征值的特征向量中确定对应的特征向量，从而确定矩阵A。

最重要的是，掌握实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决实二次型的标准化问题。

1.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

(1) 不同特征值的特征向量必须是正交的

(2) k重特征值必须满足

【注】由性质(2)可知，实对称矩阵必定可相似对角化；由(1)可知实对称矩阵必定是正交相似可对角化的。

2.能够找到使对称矩阵正交相似的正交矩阵

【注意】熟练掌握施密特正交化公式；特别注意：只有相同特征值得到的基本解系才需要正交，不同特征值对应的特征向量也一定是正交的（当然除非，如果计算错误的话，你会发现是不正交）。

3.实对称矩阵的特殊测试点：

实对称矩阵必须类似地可对角化，利用这一性质可以得出许多结论，例如：

(1)实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数

该结论仅适用于实对称矩阵，请勿错误使用。

(2) 两个实对称矩阵若特征值相同则必定相似。

同样，对于一般矩阵，这个结论也不成立。

4.实对称矩阵二次形式的应用

利用正交变换将二次型转化为标准型的方法本质上是实数对称矩阵的正交相似对角化。

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