相似矩阵对角化的意义(矩阵相似对角化可以得出什么结论)

2018年考研数学冲刺复习正在进行中。这里给大家分享2018考研数学冲刺要点：矩阵相似对角化的要点和技巧，帮助大家更好的复习！

2018年考研数学冲刺复习需要不断复习教材、复习错题、反复巩固重要知识点。今天我整理了考研数学必看考点：矩阵类似对角化的要点与技巧。我希望它可以帮助你。

矩阵的类似对角化是考研的一个重要考点。这部分内容可以包括大问题和小问题。因此，学生必须学会如何判断一个矩阵是否可对角化。这部分的知识点总结如下：

一般方阵的相似对角化理论

这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，判断给定矩阵是否可以相似对角化，知道矩阵相似对角化的计算问题，求可逆矩阵和对角矩阵。其实类似矩阵对角化之后还有一些应用，主要体现在计算矩阵行列式或者求矩阵的幂。这些应用在以往的考试题中有不同的表现。

1、判断方阵能否类似对角化的条件：

(1)充要条件：An类似对角化的充要条件为：An有n个线性无关的特征向量；

(2)另一种形式的充要条件：An类似对角化的充要条件为：An的k重特征值满足n-r(E-A)=k

(3) 充分条件：若An的每n个特征值不同，则An必须类似对角化；

(4) 充分条件：若An是实对称矩阵，则An同样可对角化。

【注】分析方阵能否类似对角化的关键是看线性无关特征向量的个数。在求特征向量之前，必须先求特征值。

2.求方阵的特征值：

(1)具体矩阵的特征值：

这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造两个0，然后利用行列式的展开定理进行计算；

(2) 抽象矩阵的特征值：

抽象矩阵的特征值往往是根据题中的条件构造特征值的定义来求的，这样提供了更大的灵活性。

实对称矩阵的相似对角化理论

其本质仍然是矩阵的相似对角化问题。与一般方阵不同的是，得到的可逆矩阵是正交矩阵。这里，除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化之外，还要求大家掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。这些考点在考试中会经常用到。

这方面知识的问题比较灵活，可以直接问，即给定一个实数对称矩阵A，找到一个正交矩阵，使得该矩阵与对角矩阵正交相似；还可以利用矩阵A的特征值和特征向量来确定矩阵A中的参数或确定矩阵A；另外，由于实数对称矩阵的不同特征值的特征向量彼此正交，因此也可以从已知特征值的特征向量中确定对应的特征向量，从而确定矩阵A。

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