高数定理证明大全(考研数学 定理证明)

2017年考研数学复习中的定理证明是考生普遍感到拿不准的内容，而2016年考研数学真题则传递出明确信号：——考生需要关注教材中重要定理的证明。下面为考生总结了教材中需要验证的重要定理。

1.导数公式的证明

2015年真题问了一道证明题：证明两个函数的乘积的导数公式。几乎每个学生都熟悉这个公式的用法，但却不熟悉它是怎么来的。事实上，从教学的角度来看，这个基本公式的证明在2015年之前从未测试过，一般只在基础阶段进行教学。如果这个阶段的考生急于求成，只关注如何使用结论而不关心结论是如何得出的，他们可能从来没有认真思考过公式的证明过程，在考场上变得非常被动。在此提醒2017年考研的同学：注意基础阶段的复习。真题中没有检验过的重要结论的证明可能会通过，所以不要放过。

当然，这个公式的证明并不困难。首先考虑f(x)*g(x) 在x0 点的导数。函数在一点的导数自然可以利用导数定义来考察，并且根据导数定义可以写出极限表达式。这个极限是“0/0”型的，但是不能用L'Obitat定律，因为分子的导数很难计算（乘积的导数公式恰好被证明了，不能用！）。采用数学中常用的拼凑法，加一项、减一项。这“无中生有”这一项，一定要前后有联系，这样才容易得出共同因素。之后，将分子的四项配对，除以分母并考虑极限，很容易得到结果。基于x0的任意性，得到f(x)*g(x)在任意点的导数公式。

对于f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)/g(x)的导数公式也可以考虑类似的证明。

2.微分中值定理的证明

这部分内容丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其他定理都需要验证。

费马引理有两个条件：1、f'(x0)存在2、f(x0)是f(x)的极值，结论是f'(x0)=0。当考虑函数在一点的导数时，应该使用什么方法？自然地，我想到了导数的定义。根据导数的定义，我们可以写出f'(x0)的极限形式。如何进一步推理？关键在于如何利用第二个条件。 “f(x0) 是f(x) 的极值”翻译成数学语言为f(x) -f(x0)0（或0），这对于x0 的某个偏心邻域来说是成立的。结合导数定义中函数部分的表达，不难想到要考虑函数部分的符号。如果我们可以得到函数部分的符号，那么如何得到极限值的符号呢？极限的符号保存性是一座桥。

费马引理中的“引理”意味着引出其他定理。那么它所导出的定理就是我们下面将要讨论的罗尔定理。如果我们推荐一个在微分中值定理中最常被检验的定理，那么罗尔定理当之无愧。这个定理的条件和结论想必大家都很熟悉。存在三个条件：“闭区间连续”、“开区间可微”、“终值相等”。结论是开区间内有一个点（所谓中位数），使得函数在该点的导数为0。这个定理的证明很难理解，需要仔细理解：如何使用条件？如何与结论建立联系？当然，我们对定理证明的讨论是“事后诸葛亮”式的：证明过程已经做好了，看大师如何理解。如果这个定理在罗尔生活的时代得到证明，那将是一个彻底的创新，并将被后世铭记。

我们别说话了，开始说正事吧。由于我们讨论费马引理的作用是引出罗尔定理，所以费马引理必须用于罗尔定理的证明。当我们比较这两个定理的结论时，不难发现它们是一致的：两个函数在一点的导数都是0。说到这里，有的同学可能会说：证明罗尔定理并不难。从费马引理得出结论就足够了。大方向是对的，但过程却没那么简单。至少让我们弄清楚：费马引理的条件是否满足以及为什么？

前面提到，费马引理有两个条件：——“可导”和“取极值”。不难判断“可导”为真，但“取极值”呢？似乎不能直接从条件中得到。那么让我们看看哪些条件可能与极值有关。请注意，罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数具有非常好的性质。哪个属性与极值相关？不难想到最大值定理。那么最大值和极值之间有什么关系呢？这一点需要想清楚，因为它直接影响到后面推理的方向。结论是：如果在区间内取最大值，则该最大值为极值；如果最大值都是在区间结束时取的，则该最大值不是极值。那么接下来，我们可以分两种情况来讨论：如果在区间内取最大值，这种情况下费马引理的条件完全成立，不难得出结论；如果最大值是在区间的端点处取的，注意，已知第三个条件告诉我们端点函数值相等，这意味着函数在区间内的最大值和最小值整个闭区间相等。这意味着函数的表达式在整个区间内始终是一个常数，因此开区间上的任意一点都可以使结论成立。

拉格朗日定理和柯西定理由罗尔定理证明。掌握这两个定理的证明，具有一石二鸟的效果：你在真正的测试中直接测试了拉格朗日定理的证明，如果你再测试这些原始定理，你自然会熟悉它；另外，证明这两个定理的过程中体现的基本技巧思想也适用于证明其他结论。

以拉格朗日定理的证明为例。既然是用罗尔定理来证明的，那么我们就比较一下两个定理的结论。罗尔定理的结论是等号右边为零。我们可以考虑将草稿纸上的拉格朗日定理结论变形为罗尔定理结论的形式，只需要移动项即可。接下来，我们需要从变形表达式中读出应用罗尔定理的结果是哪个函数。这就是构造辅助函数的过程。 —— 看等号左边的公式，看哪个函数是求导的结果，把x换成中值。这个过程有点像犯罪现场调查：根据犯罪现场，推断嫌疑人是谁。当然，构建辅助功能比解决犯罪要简单得多。简单的问题可以直接观察；对于更复杂的，可以用x代替中值，然后计算得到的函数的不定积分。

3.微积分基本定理的证明

这部分包括两个定理：变极限积分推导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变极限积分推导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间内连续。结论可以形式化地理解为变上限积分函数的导数就是丢掉积分符号，用积分上限代替被积函数的自然值。多变的。注意，这个导数公式对于闭区间成立，并且闭区间上的导数必须区别对待：开区间上每个点对应的导数都是同一类型，而区间端点处的导数是单边的衍生物。两朵花盛开，两边各一朵。我们首先考虑变量上限积分函数在开区间上任意点x的导数。仍使用导数定义来考虑某一点的导数。至于如何简化导数定义的极限表达式，作者不能剥夺读者思考的权利。单边导数的考虑方式类似。

“牛顿-莱布尼茨公式是微分学和积分学之间的桥梁，是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分和积分是可逆运算，同时标志着微积分的完整体系理论的形成从此成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼兹公式在高等数学中的重要作用。大多数考生都能熟练使用这个公式来计算定积分。然而，熟悉这个公式的证明的考生并不多。

该公式与变极限积分推导定理的共同条件是函数f(x)在闭区间连续。公式的另一个条件是F(x)是闭区间内f(x)的本原函数。结论是f(x)在这个区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值之差。该公式的证明需要利用变极限积分推导定理。如果该式的条件成立，则不难判断变极限积分求导定理的条件成立，因此变极限积分求导定理的结论成立。注意这个式子的另一个条件提到了原函数，那么我们就可以用原函数的语言来描述变极限积分求导定理的结论，即f(x)对应的变上限积分函数为f (x) 在闭区间上的另一个原语函数。根据原函数的概念，我们知道同一函数的两个原函数之间只有一个常数差，因此F(x)等于f(x)的变上限积分函数加上某个常数C.一切都准备好了，就写下来吧。结合公式右边的表达式和推导出来的方程变形，不难得出结论。

4.积分中值定理

该定理的条件是定积分的被积函数在积分区间（闭区间）上连续。结论可以形式化地记录为定积分相当于将被积函数取到积分符号之外，将积分变量x改为中值。如何证明呢？有的同学可能会想到用微分中值定理。原因是微分微分定理的结论包含了平均值。你可以按照这个思路进一步分析，但是更容易理解的思路是考虑连续相关定理（中值定理和零点存在定理）。理由更充分：以上两个连续相关定理的结论不仅包含中值，而且不包含导数。而待证明的积分中值定理的结论也包含均值但不包含导数。

如果我们选择用连续相关定理来证明，我们应该选择哪个定理呢？这里有一个小技巧——，看中值是位于闭区间还是开区间。中值定理和零点存在定理结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证明的积分中值定理结论中的中值位于闭区间间隔。那么去哪里是不言而喻的。

如果中间值定理选择成功，我们应该如何进一步推理呢？我们可以比较一下中值定理和积分中值定理的结论：中值定理结论的方程一边是某一点的函数值，等号的另一边是常数A。我们很自然地想到将积分中值定理的结论转化为上述形式。将方程两边同时除以区间的长度就可以满足我们的要求。当然，在等号一侧包含积分的变形方程的出现仍然相当令人困惑。我们需要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，那么定积分除以区间长度仍然是一。数字。这个数相当于中值定理结论中的A。

接下来如何推理取决于你对中间值定理的熟悉程度。这个定理有两个条件：1.函数在闭区间内连续，2.实数A位于函数在闭区间内的最大值和最小值之间。结论是可以得到实数（即A是闭区间函数值上的点）。我们看看积分中值定理的条件是否成立，以及积分中值定理的条件是否成立。判断函数的连续性并不难。只需要说明的是，实数除以定积分除以区间长度，位于函数的最大值和最小值之间。要考察定积分的取值范围，不难想到比较定理（或估价定理）。

定理证明肯定是比较难的部分，但是几乎没有考生敢不复习这部分，因为一旦考过，那就是大题了，不复习就当场做的可能性很小。在此提醒2017年考研的同学，掌握上面总结的重要定理的证明是获得高分的唯一途径。

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