2016年考研高等数学重点概述题(考研高数2016年真题)

2016年研究生入学考试的准备工作已经开始。关于考研高等数学部分，小编为大家整理了一份总结，希望能够帮助大家更好的备考！

从整个学科的角度来看，高等数学实际上是围绕极限、导数和积分这三个基本运算展开的。对于每一个操作，我们首先要掌握它们的主要计算方法；掌握了计算方法之后，我们就可以思考利用这个运算还能解决哪些其他问题，比如知道如何计算极限：那么我们就可以解决函数的连续性、函数不连续性的分类、函数的定义等问题衍生物。这样梳理之后，高书的整个逻辑体系就会更加清晰。

极端部分：

计算极限的方法有很多种，概括起来有十多种。这里我们只列出主要的：四种算术运算、等价无穷小代入、洛比达尔定律、重要极限、泰勒公式、中值定理、箍缩定理、单调性有界收敛定理。每种方法的具体形式在教材中都有详细的描述。考生可以自行复习，不清楚的部分可以翻到相应章节看看。

知道了如何计算极限之后，我们来谈谈极限直接定义的基本概念：

通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在is 处连续的定义，并且通过极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是不连续性的分类。具体标准如下：

由此我们还可以看出，在讨论函数不连续性的分类时，我们只需要计算左极限和右极限即可。

接下来是衍生品的定义。函数在任意点可微的定义是极限的存在性，也可以写成极限的存在性。这里的极限公式比之前复杂一点，但本质上是一样的。最后，还有可微性的定义。函数可微的定义是，存在只与相关但不相关的常量，因此当，其中有。直接利用它的定义，我们可以证明函数在一点的可微性和可微性是等价的，并且都强于函数在该点连续的可微性。

以上就是极限系统下的主要知识点。

导数部分：

导数可以根据其定义进行计算，例如分段函数在分段点处的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种推导规则来计算。主要求导规则有：四算术运算、复合函数求导规则、反函数求导规则、变上限积分求导。其中，变上限积分推导公式本质上应该是积分微积分的内容，但在提问时，通常会与导数的知识点一起呈现，所以我们将其纳入推导规则中。熟练使用这些基本求导规则后，我们还需要掌握函数导数的几种特殊形式的计算：隐函数求导和参数方程求导。我们对衍生品的要求是不能有无法计算的衍生品。这部分的题目往往难度不大，但计算量较大，要求考生熟练程度较高。

然后是衍生品的应用。导数主要有以下应用：切线、单调性、极值、拐点。每个部分都有一系列相关的定理，考生可以自行复习。中间导数与单调性的关系是核心测试点。本节测试时主要采用三种测试方法：求单调区间或证明单调性； 证明不等式； 讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系也是理解极值、拐点相关定理的基础。此外，数学3的考生还需要关注衍生品的经济应用；数学一、二的考生还需要掌握曲率的计算公式。

积分部分：

一变量函数的积分计算首先可以分为不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要知道它的计算方法：第一类代入法、第二类代入法、分部积分法。这三种方法必须综合起来，掌握各种常见形式函数的综合方法。掌握了不定积分的计算技巧之后，我们再来看看定积分。考生需要稍微注意一下定积分的定义。定积分定义的考试要求实际上是两个方面：能够利用定积分的定义计算一些简单的极限；了解微元法（除法、近似法、求和法、取极限法）。至于可积性的严格定义，考生并不需要掌握。然后是与定积分相关的定理和性质。在此期间，我们提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件必须熟记清楚，证明过程必须掌握，考试必须直接或间接通过。对于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿-莱布尼兹公式来进行不定积分的计算。当然，我们还可以利用定积分的一些特殊性质（例如对称区间上的积分）。一般来说，只要不定积分的计算没有问题，定积分的计算也不会出现问题。定积分之后是广义积分，它实际上结合了积分过程和求极限的过程。这部分考试的要求不是太高。只要掌握广义积分收敛的常见判断，并进行一些简单的计算就足够了。

现在您知道了如何计算积分，让我们看一下定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中，几何应用包括平面图形面积的计算、简单几何体（主要是旋转体）的体积计算、曲线的弧长计算、旋转曲面的面积计算等。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功、压力、质心、重力、转动惯量等。其中，数学1、2考生需要全部掌握；数学3的考生只需掌握平面图形面积的计算和简单几何体（主要是旋转体）体积的计算。这部分的题目往往比较全面，要求考生有较高的综合能力。

这是整个高等数学学科从三个基本运算的角度梳理出来的主要知识点。此外，考生需要掌握的知识点还包括多元函数的微积分。它实际上是将一变量函数中的极限、连续性、可微性、可微性、积分等概念扩展到多元函数的情况。考生可以按照来总结出与上面相同的想法。

想要提高考研数学成绩，考生需要多做练习，掌握解题技巧，掌握数学逻辑思维。希望考生在备考过程中加强锻炼。

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