高数的各种定理(高数所有定理)

第一章功能与限制

1、函数的有界性在定义域内有f(x)K1，则函数f(x)在定义域内有下界，K1为下界；如果f(x)K2，则存在上界，K2称为上界。函数f(x) 在定义域内有界的充分必要条件是，在定义域内同时存在上界和下界。

2、序列的极限定理（极限的唯一性）序列{xn}不能同时收敛到两个不同的极限。

定理（收敛序列的有界性） 如果序列{xn} 收敛，则序列{xn} 必定是有界的。

如果序列{xn}是无界的，那么序列{xn}必定发散；但如果序列{xn}有界，则不能断定序列{xn}一定收敛，例如序列1,-1,1,-1,(-1)n+1.这个序列有界但发散，因此有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

定理（收敛序列与其子序列之间的关系） 如果序列{xn} 收敛于a，则其任何子序列也收敛于a。如果序列{xn} 有两个收敛到不同极限的子序列，则序列{xn} } 是发散的，例如序列1, -1, 1, -1, (-1)n+1.中子序列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，但{xn}发散；同时，发散序列的子序列也可能是收敛的。

3. 函数极限在函数极限的定义中，0|x-x0|意味着xx0，所以当xx0时f(x)是否有极限与f(x)是否定义在点x0无关。

定理（极限内局部符号保全）若f(x)=A，当lim(xx0)时，且A0（或A0），点x0存在一定的偏心邻域，当x在邻域内域中，存在f(x)0 （或f(x)0），反之亦然。

函数f(x) 极限存在的充要条件存在。

一般来说，如果lim(x)f(x)=c，则直线y=c 就是函数y=f(x) 的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=，则直线x=x0 是函数y=f(x) 图的垂直渐近线。

4、极限算术规则定理：有限个无穷小数之和也为无穷小；有界函数和无穷小函数的乘积是无穷小；常数和无穷小数的乘积是无穷小；有限数量的无穷小数的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)F2(x )，且limF1(x)=a，limF2(x)=b，则ab。

5. 极限存在判据两个重要的极限是lim(x0)(sinx/x)=1； lim(x)(1+1/x)x=1。钳位准则如果序列{xn}、{ yn}、{zn} 满足以下条件：yn xn zn 且limyn=a、limzn=a，则limxn=a，此准则对于函数也成立。

单调有界序列必须有极限。

6. 函数的连续性假设函数y=f(x) 定义在点x0 的某个邻域内。若xx0时函数f(x)有极限，则其等于其在x0点的函数值。 f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在x0点连续。

不连续情况： 1、在点x=x0处没有定义； 2、虽然定义为x=x0，但lim(xx0)f(x)不存在； 3.虽然定义在x=x0且lim(xx0)f(x)存在，但当lim(xx0)f(x)f(x0)时，称该函数不连续或不连续在x0 处。

如果x0是函数f(x)的不连续点，但左极限和右极限同时存在，则x0称为函数f(x)的第一类不连续点（左极限和右极限相等，可称为不连续点，左右界限不相等）。称为跳跃不连续性）。任何不是第一类不连续点的不连续点称为第二类不连续点（无限不连续点和振荡不连续点）。

定理：有限个在某一点连续的函数的和、积、商（分母不为0）是在该点连续的函数。

定理：若函数f(x)在区间Ix上单调连续增减，则其反函数x=f(y)在对应区间Iy={y|y=f(x)上，xIx单调递增或递减且连续。反三角函数在其定义域内是连续的。

定理（最大最小定理） 闭区间上的连续函数必须在区间上有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间内不连续，则函数不一定在该区间内具有最大值和最小值。

定理（有界定理） 闭区间上的连续函数必须在区间上有界，即m f (x) M。 定理（零点定理） 设函数f (x) 在闭区间[ a, b ],且f(a)和f(b)具有不同的符号(即f(a)f(b)0)，则函数f(x)至少有一个零点开区间(a, b) ，即至少有一个点(a

由此推论，闭区间上的连续函数必须取最大值M和最小值m之间的任意值。

第2 章导数和微分

1、衍生品存在的充分必要条件。函数f(x)在x0点可微的充要条件是左极限lim(h-0)[f(x0+h)-f(x0)在x0点]/h和右极限lim(h+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h 均存在且相等，即左导数f-(x0) 和右导数f+(x0) 存在平等的。

2. 函数f(x)在点x0可微=函数在该点连续；函数f(x) 在点x0 在该点可微。也就是说，函数在某一点的连续性是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

3、原函数可以求导，也可以求出反函数，反函数的导数就是原函数导数的倒数。

4. 函数f(x) 在点x0 可微=函数在该点可微；函数f(x) 在点x0 可微的充分必要条件是函数在该点可微。

第三章中值定理及导数的应用

1.定理（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)上可微，并且函数f(x)在闭区间[a,b]上连续可微，且函数f(x)在闭区间[a,b]上可微区间相等，即f(a )=f(b)，则开区间(a, b) 内至少有一个点xi(a)

2.定理（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，则在开区间(a,b)上有至少有一点(a

3.定理（柯西中值定理）如果函数f(x)和F(x)在闭区间[a,b]上连续，则它们在开区间(a,b)上可微，且F'( x) 中( a, b) 中的每个点都不为零，则开区间(a, b) 中至少有一个点xi ，因此方程[f(b)-f(a)]/[F(b) -F(a)]=f'()/F'()成立。

4、洛皮达定律的应用条件只能以0/0、/、0、-、00、1、 0等未定义形式使用。

5. 如何判断函数的单调性假设函数f(x)在闭区间[a, b]内连续，在开区间(a, b)内可微，则： (1) 若在(a, b) f'(x)0，则函数f(x)在[a, b]上单调递增； (2) 如果f'(x)0 在(a, b) 内，则函数f(x) 在[a, b] 上单调递增，b] 单调递减。

如果函数在定义的区间上连续，并且除了有限数量的导数不存在的点之外，导数存在且连续，则只需使用方程f'(x)=0 的根和以下点： f'(x) 不存在划分函数f ( x) 的定义区间，可以保证f'(x) 在每个部分区间内保持固定的符号，因此函数f(x) 在每个部分区间内是单调的。

6. 函数的极值。如果函数f(x)定义在区间(a,b)中，则x0是(a,b)中的点。如果点x0 存在偏心邻域，对于此中心邻域内的任意点x，f(x)f(x0) 为真，称f(x0) 为函数的最小值f(x)。

当函数获得极值时，曲线上的切线是水平的，但当曲线上有水平曲线时，函数不一定获得极值，即导函数的极值点必须为其驻点（导数为0）。点），但函数的平稳点不一定是极值点。

定理（函数求极值的必要条件）假设函数f(x)在x0处可微，并在x0处求极值，则函数在x0处的导数为零，即f'(x0 )=0。定理（函数求极值的第一个充分条件）假设函数f(x)在x0的邻域内可微，且f'(x0)=0，则： (1) 若x取相邻值在x0 的左侧，f'(x) 始终为正；当x到达x0右边相邻的值时，f'(x)始终为负数，则函数f(x)在x0处获得最大值； (2) 如果当x 取x0 左边相邻的值时，f'(x) 总是负数；当x取x0右侧相邻的值时，f'(x)始终为正，则函数f(x)在x0值处取得最小值； (3) 如果当x取x0左右两边相邻的值时f'(x)总是正值或者总是负值，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理（函数取得极值的第二个充分条件）假设函数f(x)在x0处有二阶导数且f'(x0)=0，f''(x0)0则：( 1) 当f''(x0)

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