数学高考解析几何大题(高考数学解析几何知识点归纳总结)

天津市第四十二中学 张鼎言

3. 设A，B分别为椭圆-+-=1(a，b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线。

(Ⅰ)、求椭圆的方程；

(Ⅱ)、设P为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

解：(Ⅰ)由已知a=2c，-=4

故椭圆的方程为-+-=1

(Ⅱ)要证点B在以MN为直径的圆内，需证∠MBN>90°。用向量数量积方法要考虑B、M、N三个点的坐标，其中M、N两个点的坐标在运算上都有难度，我们转化为证明∠MBP<90°，这时用点P的坐标使问题简化。如图，不妨假定y0>0，y1>0

由平面几何，

-=-=-，

y0=-，

M在椭圆上，

即y12=-(12-3x12)

-=(x1-2，y1)，

-=(2，y0)

-·■=2(x1-2)+y0y1=2(x1-2)+-=2(x1-2)+-(2-x1)=-(2-x1)

而-2

∴-·■>0，

∴cos∠MBP>0，

∠MBP<90°，

∠MBN>90°

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