高考数学基本不等式的应用与常见错误评析题(高考数学基本不等式的应用与常见错误评析题及答案)

基本不等式及应用是高中阶段一个重要的知识点；其方法灵活，应用广范。在学习过程中要求学生对公式的条件、形式、结论等要熟练掌握，才能灵活运用。

一、基本不等式：

1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b等号成立，

2.a,b∈R+，a+b≥2-，当且仅当a=b等号成立。

二、问题1：设ab﹤0,则:-+-的取值范围是( )

(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)

解题辨析：

常见错误解法：因为-与-的积为定值，其和有最小值，

即-+-≥2所以选择答案(D)。此解法是错的，是因为-﹤0

-﹤0并不满足不等式：a+b≥2-中字母的条件；

正确方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0

(--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正确答案是(A)

问题2：已知x是正实数，求函数y=x2+-的最小值？

解题辨析：

常见错误解法：因x是正实数，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-，当且仅当x2=-，即x=-时，等号成立；此解法错误的原因是x2与-的积

2-并不是定值。

正确结论：对于两个正数a与b，

当和为定值，当且仅当a=b时，其积有最大值；

当积为定值，当且仅当a=b时，其和有最小值。

正确方法是：因x是正实数，y=x2+-=x2+-+-

≥3·■=3,

当且仅当：x2=-等号成立，即x=1时，y=x2+-的最小值是3

问题3：已知x,y都是正实数，且x+4y=1，求：-+-的最小值？

解题辨析：

常见错误解法：因为x,y都是正实数1=x+4y≥2-

即1≥4-＞0，-+-≥

2-＞0，两式相乘得-+-≥8

所以-+-的最小值是8，此解法错误的原因是不等式x+4y≥2-取等号的条件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等号的条件是x=y，而这两个条件不可能同时成立，因此-+-≥8中的等号不成立。

正确方法是：x,y都是正实数，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+

2-=9，当且仅当-=-等号成立，

即当且仅当x=-，y=-时，-+-取得最小值是9

问题4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的最大值？

解题辨析：

常见错误解法：

xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3

即：xm+yn的最大值为3

此解法错误的原因是当xm+yn取得最大值3时，x=m，y=n要同时成立，即有x2+y2=m2+n2，而这是不可能的。

正确解法：因为x2+y2=2,m2+n2=4，两式相乘

8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn

8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-

即当且仅当xn=ym时，xm+yn取最大值为2-

总之，基本不等式解决问题并不是万能的。学习过程中，要深刻理解基本不等式的内在实质，搞清其条件、公式、结论之间的辩证关系是关键。特别对于第二个基本不等式，我们常说“一正、二定、三等号”，其意义就在于此。

训练题

一、填空题：

1.已知x,y都是正实数，且-+-=1,则x+y最小值是_______，

当且仅当x=_______,y=_______,

2.已知：abc均为实数，且a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的最大值是________

最小值是_________。

3.已知：a,b都是正实数，且a+b=1，则(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。

二、选择题：

1.已知：a,b都是正实数，且a+b=1，则-+-的最大值是( )

(A)-(B)-(C)2-(D)3

2.已知实数a，b，c满足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,则实数c的范围是( )

(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]

三、解答题：

1.已知矩形的面积与其周长相等，求其面积的最小值？

2.⑴比较大小：㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67

⑵根据上述结论作出推广，试写出一个有关于自然数n的不等式，并证明之。

答案：

一、 填空题：

1. x+y最小值是9， 当且仅当 x=6,y=3。

2. ab+bc+ca的最大值是1 , 最小值是--。

3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- ,　　二、 选择题：

1.(C), 2.(D)

三、 解答题：

1.16

2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67

⑵ ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要证明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。

华东模范中学 马兰军

  相关文章:

   12.下图中，P是价格，Q是数量，D是需求曲线。若不考虑其他因素，下列说法正确的是：①鼓励社会资本办学对区域内办学资源的影响符合图（I）②成昆线扩能升级对攀枝花市航空客运的影响符合图（I）③玉米等饲料价格下

   2016年高考正在紧张的备考阶段，高考英语的学习依然至关重要，不仅靠知识的积累和运用，同时也需要学习的方法和做题的技巧，为了帮助广大考生攻克高考英语的学习，高考网为大家整理了高考英语复习资料和解题技巧，以下是《2016高考英语一轮复习：提高完型填空的实战经验》，

   高考冲刺:大幅提高高考语文成绩高考越来越近了，很多学生宁愿把时间用在数学和英语上，也不愿“浪费”在语文上。在最后100多天的时间里，要使自己的语文水平语文素养有一个大的提高，我看是不现实的，但要使自己的考试成绩提高一个层次，却完全是有可能的。回顾展望：对历年高考试卷作一回顾和梳理首先是“回顾展望”。我们必须对高考5年、10年，甚至15年、20年的试卷作一个回顾和梳理。鉴往知来，看一看这些年高考到

   离高考还有最后四天，考生和家长的神经绷得越来越紧。有的考生看书看不进去，不看又担心考不好；一些家长更是无所适从干着急。临考前到底应该注意啥？最后五天应该怎样科学度过？就这些话题，6月1日，沈阳晚报、沈阳网记者采访了同泽高级中学

   作者：李丽平亲爱的高三同学们：时间如白驹过隙，来不及迟疑你们就已踏上高三的旅程。回首过去的日子，走过的高一、高二是那么的轻松快乐。而刚步入的高三路却无异于没有硝烟的战场，困难与压力瞬间倍增。高三将是你们人生中最重要，最浪费不起的时光。因为一旦虚掷，就会失去一个改变人生的难得机会。人们常说，生命的奇迹，是在有限的时间和空间里创造出无限的价值。同学们，高三便是你