容斥极值问题原理(容斥极值基本公式)

2019省考已经迫在眉睫。说到行测考试，很多考生首先就想到了头疼的理科题目，数量关系和资料分析。数量关系考的内容纷繁多样，每年都有新的类型，新的难题出现，也真是难为每年绞尽脑汁在那里出题目的老师，也更难为了我们的同学。不过，做数学时我们必须能够发散思维，学会逆向思维。既然有变化，那么当然也有不变的，我们需要去掌握一些不变的东西，以不变应万变。今天中公教育专家跟大家探讨的就是容斥问题之中的一个考点“容斥极值”。

【例1】某个25人的班级开展班会，需要表演节目，因此统计了所有学生的爱好。统计结果如下：有24个学生喜爱唱歌，有10个学生喜爱跳舞，有17个学生喜爱演奏乐器。请问至少有多少学生三种活动都喜欢。

A.1 B.2 C.3 D.4

【中公解析】A。本题是标准的容斥极值问题，求三者相交的最小值。所谓的三者容斥即是题干中，唱歌、跳舞、演奏乐器3个爱好相互交叉，总人数只有25个人，所以有些人可能会喜爱2种乐器，有些人可能会喜欢3种乐器。那怎么解决这样题目的呢，我们开头的时候说过逆向思维，现在依旧可以利用逆向思维。有24个喜欢唱歌，那么就有1个人不喜欢唱歌，有10个喜欢跳舞，那么就有15个不喜欢跳舞，有17个喜欢演奏乐器，那么就有8个人不喜欢演奏。下面划重点了。1、假设这3批人都是没有重复的，相互独立的。因此在25个人里面去掉不喜欢唱歌的，不喜欢跳舞的，不喜欢演奏乐器的，剩下的就只是三者都喜欢的了，唯一的一个人是最少的。2、假设这3批不喜欢的人中间存在相互重复的人，那么可想而知。总人数就不能直接去掉这3批人了，因为中间有重复的人，会被重复去计数。那么3者最少的就不止1个人了。

通过以上实际上我们可以总结出一个公式，帮助我们，在遇到这类问题的时候，那就可以直接套公式解决。上述题目的最后的解决式子可以这么列：25-(25-24)-(25-10)-(25-17)=1，整理一下可以得出，14+10+17-2×25=1。如果用I来表示总人数，用A、B、C来代替24、10、17，可以得出A+B+C-2×I。

那接下来，需要学以致用。

【例2】 到了年度总结的时候，对所有人进行考勤的审查，发现，90%的人上午请过假，80%的人下午请过假，请问上午下午都请过假的人最少有多少。

A.60% B.50% C.80% D.70%

【答案】D。这题目相较于上一道来说，其实更加的简单。这题只是两者容斥问题，我们需要举一反三，前面我们给出相应的三者容斥问题了，那么这个只有两个，我们套用公式的话，只需要90%+80%-100%=70%。是不是相当的简单。

那么我们是不是可以以此类推，4者、5者、6者呢，是不是可以这么整理下来：

两者容斥最少：A+B-I

三者容斥最少：A+B+C-2×I

四者容斥最少：A+B+C+D-3×I

那么我们相信聪明的同学们一定能够推测出更多情况下的公式了。通过这种题目希望传达2个意思：第一个，学会逆向思维;第二个，能够举一反三。这在我们数学中是处处可见的，中公教育专家希望大家在新的一年里面能够行测申论两开花。成功上岸!

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