一个方程组与另一个方程组有相同的解(一个方程组总有解)

行测考试当中的数量关系部分又是大家最为头疼的一环，很多考生都是选择放弃的。因为数量关系的题难，而且耗时很长，如果做了，难免得不偿失。然而事实并非如此，其实大多数数量关系的题都有一定的解题技巧，掌握了它们，就能在考试当中多拿分数，取得一定的竞争优势。今天，中公教育专家就以容斥问题为例，给大家说说怎样利用一个方程组快速地、准确地解决数量关系题。

什么是三者容斥

题目后发现题干描述了三个概念，这三个概念有相同的部分，也有不同的部分，我们管这类题目就叫三者容斥。单独去理解其实比较抽象，不如通过画图将其具体化。

不妨先来看看三者容斥的构成：

观察这个图形我们会发现1，2，3代表只属于一部分的，不妨设1+2+3=a。4，5，6代表属于两部分的，不妨设4+5+6=b。7是属于三部分的设7=c，8是都不属于的设8=d。

则有：I=1+2+3+4+5+6+7+8=a+b+c+d，

A+B+C=1+2+3+4+5+6+4+5+6+7+7+7=a+2b+3c

A∩B+A∩C+B∩C=4+5+6+7+7+7=b+3c

真正解题的过程中注重理解题干，如果题干中告诉我们数据就待数据，如没告诉数据就用字母代替。不是所有题目都用得到三个方程，有些用两个，甚至有些只用一个就能搞定。

下面我们通过几个例题来认识一下三者容斥：

例1：对 39 种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有

17 种，含乙的有 18 种，含丙的有 15 种，含甲、乙的有 7 种，含甲、丙的有 6 种，含乙、丙的有 9 种，三种维生素都不含的有 7 种，则三种维生素都含的有多少种?

A.4 B.6 C.7 D.9

答案：A。【中公解析】由题可知:I=39,A=17,B=18,C=15,A∩B=7,A∩C=6,B∩C=9,d=7。而此题求c，直接带入方程组：

I=a+b+c+d，即39=a+b+c+7 整理得：32=a+b+c ①

A+B+C=a+2b+3c，即17+18+15=a+2b+3c整理得：50=a+2b+3c ②

A∩B+A∩C+B∩C=b+3c，即7+6+9=b+3c 整理得：22=b+3c ③

得到一个三元一次方程组 ②-①得：18=b+2c，再用③减上所得求得c=4，故此题选A

例2.某乡镇对集贸市场 36 种食品进行检查，发现超过保质期的 7 种，防腐添加剂不

合格的 9 种，产品外包装标识不规范的 6 种。其中，两项同时不合格的 5 种，三项同时不合格的 2 种。问三项全部合格的食品有多少种?

A.14 B.21 C.23 D.32

答案：C。【中公解析】由题可知:I=36,A=7,B=9,C=6,b=5，c=2。此题告诉我们的都是不合格的怎么样，故求三项全部都合格的是求d，直接带入方程组：

I=a+b+c+d，即36=a+5+2+d 整理得：29=a+d①

A+B+C=a+2b+3c，即7+9+6=a+2×5+3×2 整理得：6=a②

①-②即可求出d=23。故此题选C。

例3.某研究室有 12 人，其中 7 人会英语，7 人会德语，6 人会法语，4 人既会英语又会德语，3 人既会英语又会法语，2 人既会德语又会法语，1 人英语、德语、法语三种

语言都会。会且只会两种语言的有多少人?

A.8 B.4 C.5 D.6

答案：D。【中公解析】由题可知:I=12,A=7,B=7,C=6,A∩B=4,A∩C=3,B∩C=2,c=1。而此题求b，直接带入方程组：

A∩B+A∩C+B∩C=b+3c，即4+3+2=b+3×1 整理得：6=b

直接得出b=6。故此题选D。

最后希望各位考生在下去理解一下这个方程组的由来，找几道三者容斥的题目做一做，相信大家一定可以理解这个方程组的方便之处。

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