数量关系中容斥原理公式(行测数量关系容斥公式)

容斥原理是公务员考试行政职业能力测验数量关系中较难的一类题，一般的解题思路有两种：

1、 公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目；

2、 文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。

一般而言，能够直接代入公式的题较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。如果考生能够对公式中的各个要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。

例：某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人。参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？

A.15 B.16 C.17 D.18

对于这道题，一般思路为：将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：

（13-5-x-y）+（17-5-x-y）+（30-5-x-y）+x+y+z+5=35，

从而得到x+y+z=15，即为所求。

该方法是利用文氏图和列方程的方法进行解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：

解法1：文氏图与三集合标准型公式相结合。

三集合标准型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。

将语文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=30。“AB+AC+BC”中包含三个ABC，因此要减去两个，即AB+AC+BC-2ABC=20，即为至少选两个小组的人数，因此，得到只参加一个小组的人数=总人数（AUBUC=35）减去至少选两个小组的人数（AB+AC+BC-2ABC=20），等于15。

该方法将文氏图与三集合标准型公式结合使用，避免了求解不必要要素的过程，这需要各位考生对于基本公式和文氏图各部分的意义有深刻理解。

解法2：通过读题，我们可以发现，英语小组、语文小组、数学小组在题目中都是同时出现，即这三个小组是并列关系，对于这三个小组的人数，即17、30、13三个数字只能用加法处理，等于60。这样原题五个数字（35、17、30、13、5）就变为三个（35、60、5），而这三个数字之间只能做加减，而不能做乘除，因此，得到结果的尾数必为“0”或“5”。

在得到这个结论之后，观察一下选项，发现只有A选项尾数为5，因此，本题答案确定无疑，就是A。本题成功实现“秒杀”。

公务员考试中关于容斥原理题千变万化，但无论怎样变化都离不开基本公式和文氏图，在平时练习的时候一定要熟练掌握这两种方法，从而提高做题速度与正确率，并争取针对个性化的题产生巧妙的方法。

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