整数拆分之经验分享－－行测专题

n=n1+n2+…＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想.

一、整数分拆中的计数问题
　　例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？
　　解：根据分拆的项数分别讨论如下：
　　①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；
　　②把6分拆成两个自然数之和有3种方式
　　6=5+1=4+2=3+3；
　　③把6分拆成3个自然数之和有3种方式
　　6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；
　　④把6分拆成4个自然数之和有2种方式
　　6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；
　　⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式
　　6=2+1+1＋1＋1；
　　⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式
　　6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有
　　1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.
　　说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.

例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？
　　解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：
　　1994=1993+1=1＋1993
　　=1992+2=2＋1992
　　=…
　　=998＋996=996+998
　　=997+997
　　因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.
　　解法2：构造加法算式：
1994=1+1+1+1+.........+1（1994个1相加）
　　
　　于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.
　　说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中
（1）K=N/2 (N是偶数）
(2) K=(N-1)/2 (N是奇数）
例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）
　　分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.
　　解：构造加法算式
100=1+1+1+1+.......+1 （100个1相加）　　
　　于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有C(99,2)=99*98/2=4851 种不同的方式.
　　说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为有顺序的3个自然数之和，共有（N-1)(N-2)/2种不同的方式
　　

练习题：
1. 有多少种方法可以把10表示为若干个自然数之和？
2.有多少种方法可以把3335表示为两个自然数之和？
3. 有多少种方法可以把1000表示为（有顺序的）4个自然数之和？
4.用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？

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