容斥最值经典例题讲解(容斥 最值)

近年来，行测对于知识点的考察绝对不再仅仅局限于表面上的公式的基本运用，在当今的公考中更多的测查考生的一个理解与灵活运用能力，而对于行测中经常出现的一类问题-容斥问题，我们现如今的考点也已经从基本公式向着更多的变形考点去延伸，中公教育专家给大家带来的是关于利用方程思想解决容斥“最值”问题的基本方法。

一、 容斥问题基本公式

二者容斥：I=A+B-A∩B+m

三者容斥：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+m

二、 容斥“最值”问题的题型特征：

1. 区域出现重叠;

2. 出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。

三、经典例题

例1. 有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。那么至少有()人参加了不止一个项目的比赛。

A.7 B.10 C.15 D.20

【答案】B。中公解析：设参加两项的有x人，参加三项的有y人，则参加不止一项的为x+y人。根据容斥原理可得：50+40+30-x-2y=100，则x+2y=20。题目要求是x+y尽可能小，根据x+2y=(x+y)+y，要想保证x+y尽可能小，那么y要尽可能大，又因为x+2y等于定值，所以要想y尽可能大，则x尽可能小，x最小为0，此时y最大为10，此时x+y取得最小值为0+10=10，所以答案为B。

例2. 同学们参加周末兴趣小组，每个小组各有50人参加，已知音乐和美术都参加的有20人，体育和美术都参加的有12人，音乐和体育都参加的有15人，问只参加一个兴趣小组的最少有多少人?

A.3 B.56 C.92 D.103

【答案】B。中公解析：设参加三个兴趣小组的人为x人，只参加一个兴趣小组的有y人，有y=(50-20-12+x)+(50-12-15+x)+(50-20-15+x)，y=56+3x，要想y最小，即让x最小，x最小为0，此时y取得最小值为56。

例3. 某学校五年二班参加语文、数学、英语三科考试，语文90分以上的有21人，数学有19人，英语有20人，语文数学都在90分以上的有9人，数学英语在90分以上的有7人，语文英语都在90分以上的有8人，另外有5人三科都在90分以下，这个班最多有多少人?

A.47 B.48 C.49 D.50

【答案】B。中公解析：分别用A、B、C代表语文、数学和英语90分以上的人，则有A=21,B=19,C= 20,, A∩B=9,B∩C=7,.A∩C=8,m=5记A∩B∩C为x，根据容斥问题基本公有则有：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+x+5=I，整理得I=41+x，要想I最大，即让x最大，A∩B、B∩C、A∩C三者交集的最大值为7，所以x最大取值为7，此时I取得最大值为41+7=48，故答案为B。

正所谓学则变，变则通，希望大家在以后的学习中碰到容斥“最值”问题能够做到灵活应对，以上就是中公教育为大家带来的关于方程思想解决实际容斥问题的基本方法。

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