中国剩余定理例题解析(中国剩余定理csdn)

【基础理论】

1、中国剩余定理的通用形式

某数除以A余a，除以B余b，除以C余c……求这个数。

例如：一个小于50的数字，除以7余1，除以5余4，除以9余4，这个数是多少?

2、中国剩余定理的求解方法

(1)余同加余——X=除数公倍数+余数

【例】X除以8余3，除以6余3，且X在20~30之间，求X。

解析：题目中，余数都是3，所以说余数相同，此时X=除数公倍数+余数，即X=24n+3，由于X在20~30之间，所以X=27。

注：除数公倍数等于其最小公倍数的N倍

(2)差同减差——X=除数公倍数-差(差为除数和余数的差)

【例】X除以6余3，除以5余2，且X在20~30之间，求X。

解析：题目中，除以6余3，说明除数和余数之差为3，同理除以5余2，除数与余数之差也为3，所以说差相同。此时X=除数公倍数-差，即X=30n-3，而X在20~30之间，所以X=27。

(3)和同加和­——X=除数公倍数+和(和为除数和余数的和)

【例】X除以5余2，除以4余3，且X在20~30之间，求X。

解析：题目中，除以5余2，则除数和余数之和为7，同理除以4余3，除数和余数之和也为7，所以说和相同。此时X=除数公倍数+和，即X=20n+7，而X在20~30之间，则X=27。

(4)逐步满足法(从除数最大的开始满足)

【例】X除以5余2，X除以8余3，求X最小为多少

解析：题目中，余数、和、差都不相同，则考虑逐步满足法，从除数大的即除数为8开始，满足除以8余3的有11,19,27，而只有到27才满足除以5余2，所以X=27。

了解基本方法后，我们来看几个真题熟悉一下中国剩余定理的考核。

【真题再现】某校二年级全部共3个班的学生排队，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，这个学校二年级有( )名学生。

A.120 B.122 C.121 D.123

【答案】B。最后一排都剩2人，说明余数相同，则属于余同加余的情况，人数=4、5、6的公倍数+2=60n+2，答案符合的只有B。另解：5人一排剩2人，说明除以5余2，答案只有B符合。

【真题再现】某歌舞团在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?

A.102 B.108 C.115 D.219

【答案】D。观察题干，即人数除以7余2，除以5余4，除以6余3，属于和同加和的情况，和都为9，则人数=7、5、6的公倍数+和=210n+9，答案符合条件的只有D。另解：排成5排多4人，说明除以5余4，答案只有D符合

中国剩余定理的考核很多都可以和整除联合进行考核，大家在复习中可以将二者结合起来，一起巩固和提升。

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