容斥问题 极值(容斥的极值问题公式推导)

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系考试：线性方程法巧解。

1.概述

在事业单位考试中，数量关系往往成为成“公”的绊脚石，其实，对于很多数量关系问题，只要准确的掌握一些快速求解方法，就能够取得高分，而容斥极值问题便是一种高频考点，特别是其中的容斥极小值问题，但是，通过对近几年试题分析可知，对于普通的容斥极值(求所有集合相交部分最小值)问题，我们可以通过公式法快速得到答案，但是，对于部分特殊容斥极值(非所有集合相交部分)问题，公式法就显得捉襟见肘。但若利用线性方程法进行求解，问题就会引刃而解，首先要找到题中数据所表示的集合(表示的区域)，然后理清各个集合之间的关系，再依据每部分均只记数1次，利用线性方程列出等量关系，加以简要讨论分析便可求解。

2.线性方程法简述

为方便理解，我们以考试中经常出现的三者容斥为例进行说明。如下图所示，为三者容斥问题文氏图，容易看出，这个图中存在一层、两层和三层的情况，如果直接将各个集合进行加减很容易出现重复或者遗漏的部分，但若按照每一部分的层数进行划分，这样整个图就会变得很清晰，为此，我们在集合中把每一个封闭的区域都用一个数字或字母来表示，则有:

1、2、3这三个部分都只有一层，a、b、c三个部分各有两层，x这一部分有三层，y这部分都没有，且为方便理解，记1+2+3=n，a+b+c=m，根据题意可得：全集I=1+2+3+a+b+c+x+y=n+m+x+y，A+B+C=n+2m+3x，从而做题时只需要将各个部分找清楚，就不会出现错误。

3.例题精讲

例1. 五年级一班共有55个学生，35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，以上三种特长班都参加的有6人，问只参加其中两种特长班的至少有多少人?

A.25人 B.26人 C.27人 D.28人

【解析】：已知全集I=n+m+x+y，A+B+C=n+2m+3x，I=55，A=35，B=28，C=31，x=6，求m最小为多少，代入以上数据有：55=35+28+31-m-2×6+y，化简得m-y=27，所以，当差一定时，y越小，m就越小，而y最小为0，从而得此时m=27。

例2. 有135人参加单位的招聘，31人有英语证书和普通话证书，37人有英语证书和计算机证书，16人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试。

A.50人 B.51人 C.52人 D.53人

【解析】：依题可知，不能参加面试的为没有证书和只有一种证书的人，即求n+y的最小值，已知全集I=n+m+x+y，A+B+C=n+2m+3x，I=135，a+x=31，c+x=37，b+x=16，代入得，135=n+31+37+16-2x+y，整理得n+y=51+2x，易知x越小，n+y越小，而依题其中一部分人有三种证书，故而x最小为1，得n+y最小为53。

综上例题可知，通过文氏图对各区域进行标示，再结合线性方程的方法求解，可以将复杂的文氏图转化为简单方程，再加以简单的化简分析讨论，对于特殊的容斥极值问题就一定可以迅速准确解决。

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