构造数列类最值问题(数列最值问题方法)

最值问题是数量关系中非常重要的一种题型，考察频率很高。今天与大家探讨一下最值问题中常见的构造数列类题型的解题方法。

构造数列类最值问题是最值问题中难度较高的一种题型。主要表现在两个方面，一是在梳理解题思路中，对各个名次的要求需要分析清楚，是应该尽可能高还是应该尽可能低；二是部分构造数列类最值问题计算难度较高，那么在计算时我们就应该尽量结合一些计算技巧，例如尾数法或者相关公式，以提高计算速度。下面通过几道例子详细梳理一下构造类最值问题解题方法的三个步骤如何应用。

构造类最值问题解题方法的三个步骤如何应用

题型特征：最多(少)的…至多(少)…;排名第N的至多(少)……

解题方法：1.排序定位(求谁设谁);2.构造数列(反向推其他);3.加和求解。

例1. 【2014国考】某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店：

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【解题思路】设专卖店数量排名最后的城市有x家专卖店。要求专卖店数量排名最后的城市专卖店的数量最多,则令其他城市专卖店数量最少。题目中已知排名第 5 多城市有 12家专卖店，且每个城市专卖店数量不同,则可得下表:

根据该企业共有100家专卖店的条件，则有16+15+14+13+12+x+4+x+3+x+2+x+1+x=100，解得x=4，正确答案为C。

【点评】本题在解题过程中“构造数列”时，需要注意题干已经给定第五名的城市有12家专卖店，不能忽略掉这一条件，若将第五名构造成“x+5”进行后续计算，结果会出现偏差。提醒大家，在构造数列的过程中，一定要注意题干是否有特定条件。

例2. 【2018国考】某新能源汽车企业计划在A、B、C、D四个城市建设72个充电站，其中在B市建设的充电站数量占总数的，在C市建设的充电站数量比A市多6个，在D市建设的充电站数量少于其他任一城市。问至少要在C市建设多少个充电站?

A. 20

B. 18

C. 22

D. 21

【解题思路】因为B市建设充电站的数量占总数的，C市又比A市多6个，D市最少，所以四个城市充电站个数关系为：B、C两市建设充电站的数量较多，A市第三多，D市最少。要使C市建设的充电站尽量少，就要让其他市建设的充电站尽量多。其中，，D尽量多且比A少，所以D最多为。此时充电站总个数，解得，问至少，应向上取整，所以C至少建设21个充电站。

【点评】在部分构造类最值问题中，解出的答案并非为整数，此时切不可盲目的进行四舍五入，而要根据题目要求进行取舍，提醒大家可以根据口诀进行记忆：“问最多向下取整，问最少向上取整”。例如，我们解出来至多是14.5，那么就不能超过14，此时向下取整，14才是符合要求的答案。

例3.【2010国家】某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分：

A. 88

B. 89

C. 90

D. 91

【解题思路】

如表所示，设排名第十的人考了x分，要想让x尽可能低，其他应尽可能高。因每人得分不同，则1-9名最高可为100-92分。同时，不及格人数=20×5%=1人，不及格的人最高只能为59分。11-19名也应尽可能高，设分别比第十名低了1-9分。前9名与倒数第1名的的总分数=96×9+59=923，则第10-19名的总分数=88×20-923=837。即x+(x-1)+…+(x-9)=837，10x-45=837，解得x=88.2分。问最少向上取整，至少为89分，B项满足。

【点评】此题有两个特点，第一涉及的名次较多，共有20人，如果20个名次全部构造出来则过于浪费时间，故在解题过程中，分数相连的名次可以列为一格。第二计算量较大，涉及到等差数列的求和以及多位数的加减法。建议考生们在解题过程中一定要掌握相应的计算技巧，在此我们利用等差数列的中位数进行求和便会大大提高我们的计算速度。

例4.【2013国考】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名：

A.10

B.11

C.12

D.13

【解题思路】要使行政部门少，则其他部门应尽量多，设行政部门分得x名，其他部门均分得(x-1)名，可列式为x+6(x-1)=65，解得x≈10.1,问最少向上取整，行政部门至少分得11名，正确答案为B。

【点评】在本题中，为什么其他部门分得人数都可以设为(x-1)呢?因为题目中没有说明“各个部门人数均不相同”。所以提醒大家记住，如果题干没说均不相等，则可默认相等。

以上就是对于数列构造最值问题的详细讲解。本类题型有一定难度但套路性较强，需要去构造名次及计算复杂方程。在构造名次时，若涉及的名次较少，可以不需画出表格，而较为复杂的推荐画出表格，如此解题会更加清晰。提醒大家记住万变不离其宗，只要知识点掌握牢固、能够融会贯通，无论如何创新如何结合，我们都可以熟练解决，当然这还需要建立在大量练习的基础上。

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