矩阵乘法例题讲解(矩阵乘法笔记)

虽然矩阵乘法不满足交换律。然而矩阵乘法在很多方面的成功应用却是非常令人满意的。

1、如果A和B都是n阶方阵，则|AB|=|A||B|。

我们知道|A+B|很难解决。相比较而言，乘积算法要复杂得多，但乘积矩阵行列式公式却如此简单，自然可见矩阵乘法的成功。

特别地，如果AB=BA=E，则B 被称为A 的逆；或者称A 和B 互逆。

A* 是按行顺序转置的A 的代数辅因子。这样做的原因是恰好有（基本恒等式）AA*=A*A=|A|E。顺便说一句，当|A|0时，|AA*|=||A|E|，所以|A*|=|一个|的n-1 次方。

2、实现矩阵的三类初等变换可以通过三类初等矩阵分别与矩阵相乘来实现。 “当在左边相乘时，行会改变，当在右边相乘时，列会改变。”它给理论讨论和计算机应用带来了极大的方便。

3、分块矩阵乘法形式多样，内部函数丰富。

为了使分块矩阵乘法可行，必须在“宏观”和“微观”两个方面保证乘法。

AB=A(b1,b2,——,bs)=(Ab1,Ab2,——,Abs)

宏观可乘性：将每个块视为一个元素，满足顺序规则(11)(1s)=(1s)。

微相乘：相乘的子块均满足顺序规则。 (mn)(n1)=(m1)，具体来说，Ab1为列向量

AB=0 的基本推理

AB=0，即(Ab1, Ab2, ——, Abs)=(0, 0, ——, 0)

B 的每个列向量都是方程组Ax=0 的解。

B的列向量组可以用方程组Ax=0的基本解系线性表示。

r(B)方程组解集的秩Ax=0=n-r(A)r(B)+r(A)n。

例：已知（n维）列向量组a1,a2,——,ak是线性无关的，A是mn阶矩阵，且秩r(A)=n，试证明Aa1 、Aa2、——、Aak 线性无关

分析假设一组数字c1、c2、——、ck，使得c1Aa1+c2Aa2+——+ckAak=0。

即，A(c1a1+c2a2+——+ckak)=0。

这表明c1a1+c2a2+——+ckak是方程组Ax=0的解。

然而，方程组Ax=0的解集的秩为=n-r(A)=0，并且方程组Ax=0只有0个解。

因此，c1a1+c2a2+——+ckak=0。从已知的线性独立性来看，常数均为0。

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