解不定方程的方法大全(如何巧解不定方程)

公务员考试中会遇到这样一个问题，该题目明明可以快速列一个方程，但是却发现用以前所学的知识去解题却很难。仔细研究一下会发现这类问题属于不定方程，它的特点是方程的个数小于未知数的个数，对于这类题目，首先要搞清楚一点就是该方程原本有无数组解，但是在特定的题目背景下，最终的解却是独一无二的，所以要找出这样一组解最直观的办法可以把选项带入题干中去验证，只要符合题意就可以选择该选项，但这种解法可能会浪费一点时间，因此，中公教育专家建议考生遇到这种情况后，还需要掌握另外几种解法。

1、尾数法

【例1】现有149个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是?

A.5 B.6 C.7 D.8

【中公解析】C。设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=149，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7尾，结合选项可知，选C。

【备注】在解不定方程时，如遇到5的倍数或者10的倍数时可用尾数法解题。

2、奇偶性

【例2】某儿童艺术培训中心有5 名钢琴教师和6 名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76 人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?

A.36 B.37 C.39 D.41

【中公解析】D。设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，则x、y为质数，且5x+6y=76。对于这个不定方程，很明显，6y是偶数，76是偶数，则5x为偶数，x为偶数。然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x=2，代入原式得y=11。现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，则剩下学员4×2+3×11=41人。因此选择D。

3、整除特性

【例3】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?

A.1 B.2 C.3 D.4

【中公解析】C。设买盖饭，水饺和面条的人数分别是x、y和z，则依题意可得15x+7y+9z=60.15x，9z，60都能被3整除，所以7x必能被3整除，x能被3整除，选C。

4、代入排除法

【例4】有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。写有1.1 和1.11 的卡片各有多少张?

A.8 张、31 张 B.28 张、11 张 C.35 张、11 张 D.41 张、1 张

【中公解析】A。设写有1.1 的卡片x 张，1.11 的卡片y 张，则1.1x+1.11y=43.21,代入A，8×1.1+31×1.11= 43.21，符合题意。

【中公小结】通过这些题目可以发现这种不定方程最终的解都是唯一的，所以我们要通过这几个方法(尾数、奇偶、整除、不定方程)找到最符合题意的一组解。对于中公教育专家介绍的这几个方法，可以单独解题，而有的时候还可能会结合其他方法一起解题，例如在运用5的尾数法的过程中，如果再结合奇偶性，就会发现更加简单。所以大家再运用这个方法的过程中一定要学会灵活的运用。

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