行测容斥极值(容斥极值公式)

【导读】

中公事业单位为帮助各位考生顺利备考事业单位招聘考试，今天为大家带来数量关系：“醉值”之“容斥极值”。

在平时大家刷题时，想必行测部分一直以来都是最头痛的一科。而行测中的数量关系相对来说是其中相对较难的部分，题量较大，时间紧迫，可能没有太多时间和精力在数量关系上，很多人都选择放弃。但是在这几年竞争压力越来越大，一份之差就可能错过一次机会，那么对于这一模块全部放弃，显然是不行的，每多一分就多出一分的希望。所以如果我们能够熟练掌握相关的解题方法，那在接下来的考试中就能把握优势。那接下来给分享大家在数量关系中可以拿分的一些题型。

在这里主要来说一下比例的思想在一些问题里的巧妙应用：

一、容斥“最值”问题的题型特征

1. 区域出现重叠;

2. 出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。

二、容斥极值计算公式：

二者容斥最小值：A∩B的最小值=A+B-I

三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值=A+B+C-2I

三、常见应用

【例1】 某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人?

A.165 B.203 C.267 D.199

【答案】C。中公解析：读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

通过这个表格我们可以得出要想不选课程的人数最多，即未选数学的141人和未选文学的92人尽可能少，即不重复，因此不选课程的人数最多为141+92，因此题目所求的两种都选的最少=500-(141+92)=267人，故选C。

方法应用：在题目中我们知道141=500-359、92=500-408。故题目所求的两种都选的最少=500-(141+92)=267人可以表示为500-[(500-359)+（500-408）]=359+408-500=267，如果用I表示学校学校总人数。A表示选修数学的人数，B表示选修文学的人数，那么两种课程都选的学生至少有A+B-I人。

【例2】某班30人，数学22人优秀，语文25人优秀，英语20人优秀，这三科全部优秀的学生至少有多少人？（ ）

A.5 B.6 C.7 D.4

【答案】C。中公解析：读完题目知道要求这三科全部优秀的学生至少有多少人，即让三个科目都不优秀的人尽可能多。

通过这个表格我们可以得出要求这三科全部优秀的学生至少有多少人，即让三个科目都不优秀的人尽可能多。因此不优秀的人数最多为（30-22）+（30-25）+（30-20）=23，因此题目所求的三科全部优秀的学生至少为30-23=7，故选C。

方法应用：通过以上实际上我们可以总结出一个公式，帮助我们在遇到这类问题的时候，那就可以直接利用公式解决。例二题目的最后的解决式子可以写为：30-[（30-22）+（30-25）+（30-20）]，整理一下可以得出，22+25+20-2×30=7。如果用I来表示总人数，用A、B、C来代替20、25、20，可以得出A+B+C-2×I。

【例3】某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?

A.5 B.6 C.7 D.8

【答案】A。中公解析：通过以上两题我们总结出两个公式，A∩B的最小值=A+B-I和A∩B∩C的最小值=A+B+C-2I，而此题求至少有多少人四项活动都喜欢，由上两个公式我们可以推测四者容斥最小值的计算公式为A∩B∩C∩D的最小值=A+B+C+D-3I，则至少有35+30+38+40-3×46=5人四项活动都喜欢。所以本题答案选A。

方法应用：当题目中给出多集合数值及全集数值时，可直接用容斥极值基本公式进行求解。

四、方法总结

(1)集合之间没有任何交叉时，这些集合的元素总数最多。

(2)当一个集合包含另一个集合时，这两个集合的元素总数最少。

设全体的数量为I，全体之下的集合分别为A、B、C、D…并用A、B、C、D…表示每个集合的数量，则有：

A∩B的最小值=A+B-I

A∩B∩C的最小值=A+B+C-2I

A∩B∩C∩D的最小值=A+B+C+D-3I

通过以上的分析可以看出，多个集合的最小值可依此类推，依照上面公式进行计算。希望这几个例题能够对大家有所帮助，在此也希望大家多去运用，找到合适自己的方法，从而不断进步。正所谓学则变，变则通，希望大家在以后的学习中碰到容斥“最值”问题能够做到灵活应对，以上就是中公教育为大家带来的关于解决容斥极值问题的基本方法.

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